Satz vom primitiven Element

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Der Satz vom primitiven Element ist ein mathematischer Satz aus der Algebra, der hinreichende Bedingungen dafür angibt, dass eine Körpererweiterung eine einfache Körpererweiterung ist. Sind K \subseteq L Körper, dann wird die Körpererweiterung einfach genannt, wenn sie durch Adjunktion eines einzelnen Elements erzeugt werden kann. Ein solches, im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmtes Element a \in L mit L = K(a) wird primitives Element genannt. Der Satz vom primitiven Element wurde von Galois vollständig bewiesen und findet sich in einer Publikation[1] von Abel aus dem Jahre 1829.[2]

Satz[Bearbeiten]

Es gibt zwei Sätze, die als Satz vom primitiven Element bezeichnet werden, wobei der zweite Satz eine Folgerung aus dem ersten ist.[3][4]

Bedeutung[Bearbeiten]

Insbesondere sind endliche Galois-Erweiterungen von dieser Form und daher einfach. Ist L=K(a) eine solche Erweiterung, so ist ein Element der Galoisgruppe, das heißt ein K-Automorphismus \sigma von L, bereits eindeutig durch den Wert \sigma(a) bestimmt. Daher resultiert die Bedeutung dieses Satzes in der Galoistheorie.[5]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Niels Henrik Abel: Mémoire sur une classe particulière d'equations résolubles algébriquement, J. reine angew. Math. Band 4 (1829), Seiten 131-156
  2. Helmut Koch: Einführung in die klassische Mathematik I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-16665-3, Kap. 7.5: Der Satz vom primitiven Element
  3. Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 259–260
  4. Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.9.17
  5. Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Kapitel 7.2: Bestimmung einiger Galois-Gruppen