Satz von Baire

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Der Satz von Baire, auch als bairescher Kategoriensatz bezeichnet, gilt für eine Vielzahl topologischer Räume, die in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik, wie der Maßtheorie und der Funktionalanalysis verwendet werden. In seiner klassischen Fassung sagt er aus, dass sich vollständige metrische Räume nicht als abzählbare Vereinigung von mageren Mengen darstellen lassen. Der Begriff der mageren Menge verallgemeinert dabei den Begriff der nirgends dichten Menge.

Der Satz wurde 1899 von René Louis Baire für den Spezialfall des euklidischen Raumes $\mathbb{R}^n$ bewiesen. Der vorliegende Artikel enthält die genannte klassische Kernaussage des baireschen Satzes, erläutert die baireschen Kategorien („magere“ und „fette“ Mengen) und geht schließlich auf moderne Verallgemeinerungen des Satzes ein.

Bairescher Satz für metrische Räume

1. Sei $\left(X,d\right)$ ein vollständiger metrischer Raum und $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Folge offener und dichter Teilmengen von $\left.X\right.$. Dann ist auch $\cap_{n \in \mathbb{N}} \, U_n$ dicht in $\left.X\right.$.
2. Sei $\left(X,d\right)$ ein vollständiger metrischer Raum und $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen von $\left.X\right.$ mit $\cup_{n \in \mathbb{N}} \, A_n = X$. Dann gibt es ein $n_0 \in \mathbb{N}$ so, dass $A_{n_{0}}$ eine offene Kugel enthält – mit anderen Worten: die Folge $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ kann nicht nur aus nirgends dichten Teilmengen bestehen.

Die beiden Formulierungen des Satzes sind äquivalent, man erhält die eine aus der anderen durch Übergang zu Komplementmengen.

Bairesche Kategorien

→ Hauptartikel: Magere Menge

Definition

Sei $\left(X, \mathcal{O}\right)$ ein topologischer Raum (insbesondere z.B. ein metrischer Raum).

• Eine Teilmenge $M \subseteq X$ heißt von 1. Baire-Kategorie (oder mager), falls es eine Folge $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ von nirgends dichten Teilmengen mit $\cup_{n \in \mathbb{N}} \, M_n = M$ gibt.
• Falls eine Teilmenge $M \subseteq X$ nicht von 1. Baire-Kategorie ist, dann heißt sie von 2. Baire-Kategorie.

Beispiele fetter und magerer Mengen

• Die Teilmenge $\Bbb{Q}$ der rationalen Zahlen ist mager in $\Bbb{R}$, die Menge der irrationalen Zahlen $\Bbb{R}\setminus\Bbb{Q}$ ist nicht mager (sogar residuell) in $\Bbb{R}$.
• $\Bbb{R}$ ist nicht mager in $\Bbb{R}$ aber mager in $\Bbb{C}$.
• Die Cantor-Menge ist eine nicht abzählbare, abgeschlossene und nirgends dichte, magere Teilmenge von $\Bbb{R}$.

Bairescher Kategoriensatz

Mit Hilfe der baireschen Kategorien lässt sich der Satz von Baire für metrische Räume auch so formulieren:

In einem vollständigen metrischen Raum liegt das Komplement einer Menge von 1. Baire-Kategorie dicht und ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum ist in sich selbst von 2. Baire-Kategorie.

Verallgemeinerung: Bairescher Raum

Losgelöst von metrischen Begriffen heißt ein topologischer Raum $X$ bairescher Raum, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

1. Die Vereinigung einer abzählbaren Familie abgeschlossener Teilmengen von $X$ ohne innere Punkte hat keinen inneren Punkt.
2. Der Durchschnitt einer abzählbaren Familie offener, dichter Teilmengen von $X$ ist immer noch dicht in $X$.
3. Eine offene, nichtleere Teilmenge von $X$ ist niemals mager.
4. Das Komplement einer mageren Teilmenge von $X$ ist dicht in $X$.

Beispiele für bairesche Räume

1. Jeder vollständige metrische Raum.
2. Jeder topologische Raum, der zu einem vollständigen metrischen Raum homöomorph ist, also jeder metrisierbare topologische Raum, der bezüglich dieser Metrik vollständig ist, insbesondere jeder polnische Raum.
3. Jeder lokalkompakte Hausdorffraum.

(Auch die Feststellung, dass die genannten topologischen Räume bairesche Räume sind, wird – etwa in Camps (2006) – als „Satz von Baire“ bezeichnet.)

Anwendungen

Der Satz von Baire ermöglicht elegante Beweise zentraler Sätze der klassischen Funktionalanalysis:

• Satz von Banach-Steinhaus
• Satz über die offene Abbildung

Existenz nirgends differenzierbarer Funktionen

Auf $[0,1]$ existieren stetige Funktion, die an keiner Stelle differenzierbar sind. Um dies zu sehen setzt man für $n \in \N$

$O_n := \left(x \in C[0,1]\ \sup_{0 < |h| < \frac{1}{n}} \left|\frac{x(t+h) - x(t)}{h} \right| > n\ \forall t \in [0,1] \right).$

Versieht man den Vektorraum $C([0,1])$ mit der Supremumsnorm, so kann man zeigen, dass $O_n$ offen und dicht im $C([0,1])$ liegt. Aufgrund des Satzes von Baire weiß man, dass der Raum $\textstyle D := \bigcap_{n=1}^\infty O_n$ dicht in $C([0,1])$ liegt. Die Funktionen in $D$ sind stetig und an keiner Stelle differenzierbar.

Basis eines Banachraums

Eine andere Anwendung des Satzes von Baire zeigt, dass jede Basis eines unendlichdimensionalen Banachraumes überabzählbar ist.

Beweis durch die Gegenannahme, es gäbe eine abzählbare Basis $\left\{b_n\right\}_{n \in \mathbb{N}}$ des Banachraumes $\left.V\right.$. Sei $V_n := \mathrm{span}\left\{b_1, b_2, \dots, b_n\right\}$. Dann gilt:

• als endlichdimensionale Vektorräume sind die $\left.V_n\right.$ abgeschlossen,
• ihre Vereinigung ergibt den ganzen Raum: $\cup_{n \in \mathbb{N}} \, V_n = V$.

Nach dem Satz von Baire muss einer der $\left.V_n\right.$ eine Kugel enthalten. Ein Untervektorraum, der eine Kugel enthält, ist aber immer der ganze Raum. Dadurch würde $\left.V\right.$ zu einem endlichdimensionalen Raum, was zu einem Widerspruch führt.

Vergleichbare Begriffsbildungen in der Maßtheorie

In der Maßtheorie wird gezeigt, dass sich der Raum $\mathbb{R}^n$, versehen mit dem Hausdorff- bzw. Lebesgue-Maß nicht als abzählbare Vereinigung von Nullmengen schreiben lässt. Ersetzt man hier den Begriff Nullmenge durch magere Menge, erhält man in diesem Spezialfall die Aussage des baireschen Kategoriensatzes. Die baireschen Kategorien können somit als topologisches Analogon zu Nullmengen bzw. Maßräumen in der Maßtheorie gesehen werden. In der Tat bestehen weitreichende Gemeinsamkeiten. Diese werden in Oxtoby (1980) ausführlich beschrieben.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5. erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-43586-7.
• John C. Oxtoby: Measure and Category. A Survey of the Analogies between topological and measure Spaces. 2nd edition. Springer, New York u. a. 1980, ISBN 3-540-90508-1 (Graduate Texts in Mathematics. 2).