Satz von Banach-Steinhaus

Der Satz von Banach-Steinhaus oder das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ist eines der fundamentalen Ergebnisse der Funktionalanalysis und bildet zusammen mit dem Satz von Hahn-Banach und dem Offenheitssatz einen der Eckpfeiler des Gebiets. Er besagt in seiner Grundform, dass für eine Familie stetiger, linearer Operatoren auf einem Banachraum punktweise Beschränktheit äquivalent zu Beschränktheit ist.

Hugo Steinhaus und Stefan Banach veröffentlichten den Satz 1927. Er wurde jedoch unabhängig davon auch von Hans Hahn bewiesen.

Satz von Banach-Steinhaus

Sei $X$ ein Banachraum, $N$ ein normierter Vektorraum und $F$ eine Familie stetiger, linearer Operatoren von $X$ nach $N$.

Dann folgt aus der punktweisen Beschränktheit

$\sup \left\{\,||T (x)|| : T \in F \,\right\} < \infty$ für alle $x \in X$

die gleichmäßige Beschränktheit

$\sup \left\{\, ||T|| : T \in F \;\right\} < \infty.$

Beweis

Unter Verwendung des Baire'schen Kategoriensatzes:

Für $n = 1, 2, 3, \ldots$ sei $X_n = \left\{ x \in X | \forall T \in F: ||T(x)|| \leq n\right\}$. Nach Annahme ist die Vereinigung aller X_n gleich X.

Da X von 2. Baire-Kategorie ist, hat eines der X_n einen inneren Punkt, d.h. es gibt ein $\delta > 0$ und ein $y \in X$, sodass

$\forall x \in X : ||x - y|| < \delta \Rightarrow x \in X_n.$

Für jedes $z$ mit $||z|| < \delta$ gilt dann:

$\forall T \in F: ||T(z)|| \leq ||T(y + z)|| + ||T(y)|| \leq n + n = 2n.$

Also ist $||T|| \leq \tfrac{2n}{\delta}$ für alle $T \in F$, sodass $\tfrac{2n}{\delta}$ eine gleichmäßige Schranke für die Menge $F$ ist.

Folgerung

• Jede schwach konvergente Folge eines normierten Vektorraums ist beschränkt.

Verallgemeinerung

Die allgemeine Form des Satzes gilt für tonnelierte Räume:

Ist X ein tonnelierter Raum, Y ein lokalkonvexer Raum, so gilt: Jede Familie punktweise beschränkter, stetiger, linearer Operatoren von X nach Y ist gleichgradig stetig (sogar gleichmäßig gleichgradig stetig).

Die tonnelierten Räume sind gerade diejenigen lokalkonvexen Räume, in denen der Satz von Banach-Steinhaus gilt.

Literatur

• Stefan Banach, Hugo Steinhaus. "Sur le principle de la condensation de singularités". Fundamenta Mathematicae, 9 50-61, 1927.