Satz von Banach-Steinhaus

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Der Satz von Banach-Steinhaus ist eines der fundamentalen Ergebnisse der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. In der Literatur werden häufig drei verschiedene, aber miteinander verwandte Sätze als Satz von Banach-Steinhaus bezeichnet. Die abstrakteste Fassung ist auch als Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit bekannt, welches seinerseits aus dem Satz von Osgood folgt. Die beiden anderen Fassungen sind Folgerungen aus diesem. Ebenso wie der Satz über die offene Abbildung beruhen diese Sätze auf dem berühmten Kategoriensatz von Baire. Zusammen mit dem Satz von Hahn-Banach gelten all diese Sätze als Eckpfeiler des Gebiets.

Hugo Steinhaus und Stefan Banach veröffentlichten den Satz 1927. Er wurde jedoch unabhängig davon auch von Hans Hahn bewiesen.

Satz von Banach-Steinhaus[Bearbeiten]

Seien X und Y Banachräume und (T_n)_{n\in \N}   mit T_n : X \to Y   (n \in \N) eine Folge stetiger linearer Operatoren.

Dann gilt: (T_n)_{n\in \N} konvergiert punktweise gegen einen stetigen linearen Operator genau dann, wenn die beiden nachstehenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. Die Operatornormenfolge  (\| T_n \| )_{n\in \N} ist eine beschränkte Folge innerhalb der reellen Zahlen .
  2. Es existiert in X eine dichte Teilmenge X_0 \subseteq X, so dass für jedes x_0 \in X_0 die Folge ({T_n} x_0)_{n\in \N} innerhalb Y konvergiert.

Satz von Banach-Steinhaus (Variante)[Bearbeiten]

Sei X ein Banachraum, Y ein normierter Raum und (T_n)_{n\in \N}   mit T_n : X \to Y   (n \in \N) eine Folge stetiger linearer Operatoren.

Dann gilt: Falls (T_n)_{n\in \N} punktweise konvergiert, so definiert Tx:=\lim_{n\rightarrow\infty}{T_n} x   (x\in X) einen stetigen linearen Operator T:X\rightarrow Y und es gilt \left\| T \right\| \le \liminf_{n\rightarrow\infty}{ \left\| T_n \right\|} \le \sup_{n\in\N}{ \left\| T_n \right\|} < \infty.

Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit[Bearbeiten]

Sei X ein Banachraum, N ein normierter Vektorraum und F eine Familie stetiger, linearer Operatoren von X nach N.

Dann folgt aus der punktweisen Beschränktheit

\sup \left\{\,\|T (x)\| : T \in F \,\right\} < \infty für alle  x \in X

die gleichmäßige Beschränktheit

 \sup \left\{\, \|T\| : T \in F \;\right\} < \infty.

Beweis des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit[Bearbeiten]

Unter Verwendung des Baire’schen Kategoriensatzes:

Für n = 1, 2, 3, \ldots sei X_n = \left\{ x \in X | \forall T \in F: \|T(x)\| \leq  n\right\}. Nach Annahme ist die Vereinigung aller X_n gleich X.
Da jedes X_n abgeschlossen ist, hat eines der X_n einen inneren Punkt, das heißt es gibt ein \delta > 0 und ein y \in X, sodass
 \forall x \in X : \|x - y\| < \delta \Rightarrow x \in X_n.
Für jedes z mit \|z\| < \delta gilt dann:
\forall T \in F: \|T(z)\| \leq \|T(y + z)\| + \|T(y)\| \leq n + n = 2n.
Also ist  \|T\| \leq \tfrac{2n}{\delta} für alle T \in F , sodass \tfrac{2n}{\delta} eine gleichmäßige Schranke für die Menge F ist.

Anmerkungen[Bearbeiten]

  • Punktweise Konvergenz von Operatoren wird in Abgrenzung zur schwachen Konvergenz auch als starke Konvergenz bezeichnet und sollte nicht mit der noch stärkeren Normkonvergenz verwechselt werden.
  • Die Vollständigkeit von X ist eine wesentliche Voraussetzung in obiger Variante, um das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit anwenden zu können. Falls man wie in der Hauptfassung lediglich punktweise Konvergenz auf einer dichten Teilmenge X_0 \subseteq X voraussetzt, muss die Beschränktheit der Folge (\| T_n \| )_{n\in \N} der Operatornormen zusätzlich vorausgesetzt werden.
  • Am einfachsten folgt obige Hauptfassung mit Hilfe der Variante und diese wiederum aus dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktkeit.

Folgerungen[Bearbeiten]

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Die allgemeine Form des Satzes gilt für tonnelierte Räume:

Ist X ein tonnelierter Raum, Y ein lokalkonvexer Raum, so gilt: Jede Familie punktweise beschränkter, stetiger, linearer Operatoren von X nach Y ist gleichgradig stetig (sogar gleichmäßig gleichgradig stetig).

Die tonnelierten Räume sind gerade diejenigen lokalkonvexen Räume, in denen der Satz von Banach-Steinhaus gilt.

Literatur[Bearbeiten]