Satz von Bauer-Fike

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Der Satz von Bauer-Fike (nach Friedrich Ludwig Bauer und C.T. Fike, 1960) ist ein Satz aus der numerischen Mathematik. Er liefert eine Abschätzung über die Veränderung der Eigenwerte einer Matrix auf Grund von Störungen.

Sei  \|\cdot\| eine submultiplikative Matrixnorm,  A \in \mathbb{C}^{n \times n} eine diagonalisierbare Matrix mit den Eigenwerten \lambda_i und  \delta A \in \mathbb{C}^{n \times n} eine Störung von A. Dann hat jeder Eigenwert \lambda im Spektrum von  A+\delta A höchstens den folgenden Abstand zum Spektrum von A:

 \min_i |\lambda - \lambda_i | \,\le\, \|S^{-1} \delta A S\| \,\le\, \kappa (S)\,\|\delta A\|

mit der Konditionszahl \kappa (S)=\|S\|\|S^{-1}\| und S = (e_1,\dotsc, e_n) eine Matrix, die die Eigenvektoren von A als Spalten hat, d. h. S^{-1}AS=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n).

Literatur[Bearbeiten]

  • Robert Plato: Numerische Mathematik kompakt. Grundlagenwissen für Studium und Praxis. 3. Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2006, ISBN 978-3-8348-0277-4, Abschnitt 12.2.1, S. 312f.