Satz von Binet-Cauchy

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Der Satz von Binet-Cauchy ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Der nach Jacques Philippe Marie Binet und Augustin-Louis Cauchy benannte Satz besteht aus einer Formel zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix C. Um ihn anzuwenden, muss eine Produktdarstellung C = A \cdot B bekannt sein. Der Satz von Binet-Cauchy verallgemeinert den Determinantenproduktsatz, der sich als Spezialfall ergibt, wenn A und B quadratisch sind.

Satz[Bearbeiten]

Sind A eine n \times m-Matrix und B eine m \times n-Matrix, dann berechnet sich die Determinante von A \cdot B durch Aufsummieren von Produkten aus je einem n-dimensionalen Minor von A und B:

\det(A \cdot B) = \sum_{S \subseteq \{1,2,\ldots,m\} \atop |S| = n} \det(A_S)
\det(B_S) = \sum_{S \subseteq \{1,2,\ldots,m\} \atop |S| = n} \det(A_S \cdot B_S)

Die Untermatrizen A_S und B_S ergeben sich aus den Matrizen A und B wenn nur die Spalten aus A bzw. Zeilen aus B verwendet werden, deren Nummern in S vorkommen. Dabei muss die ursprüngliche Reihenfolge der Spalten bzw. Zeilen jedoch erhalten bleiben. Ist n > m, dann gibt es solche Untermatrizen nicht und es gilt \det(A \cdot B) = 0.

Sind sowohl A als auch B n \times n-Matrizen, dann gibt es genau eine Teilmenge S = \{1,2,\ldots,n\}, und es gilt \det(A \cdot B) = \det (A) \cdot \det (B).

Beispiel[Bearbeiten]

In diesem Beispiel wird die Determinante der Matrix C mit Hilfe des Satzes von Binet-Cauchy berechnet. Für diese Matrix ist die folgende Produktdarstellung gegeben:

C = \begin{pmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix}
= A \cdot B.

Nach dem Satz von Binet-Cauchy gilt:

\det(C) = \sum_{S \subseteq \{1,2,3\} \atop |S| = 2} \det(A_S)
\det(B_S)
\qquad = \det(A_{\{1,2\}}) \cdot \det(B_{\{1,2\}}) + \det(A_{\{2,3\}}) \cdot \det(B_{\{2,3\}}) + \det(A_{\{1,3\}}) \cdot \det(B_{\{1,3\}})
\qquad = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \end{pmatrix}
+ \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix}
+ \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 11 & 12 \end{pmatrix}
\qquad = (-3) \cdot (-2) + (-3) \cdot (-2) + (-6) \cdot (-4)
\qquad = 36.

Literatur[Bearbeiten]

  • Felix R. Gantmacher: Matrizentheorie. Springer-Verlag, 1986, ISBN 3-540-16582-7, S. 28–29
  • Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov: Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9, §2.9 (S. 68) & §10.5 (S. 377)