Satz von Clairaut (Differentialgeometrie)

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Der Satz von Clairaut (benannt nach Alexis-Claude Clairaut) ist eine Aussage der klassischen Differentialgeometrie.

Aussage[Bearbeiten]

Sei S eine Rotationsfläche und c : ]a,b[ \to S mit  s \mapsto c(s) eine reguläre Kurve auf S. Es bezeichne r(s) den Radius des Breitenkreises durch c(s) sowie \alpha(s) den Schnittwinkel der Kurve mit diesem Breitenkreis. Dann gelten:

Beweis[Bearbeiten]

Sei (u, v) \rightarrow (r(v)\cos u, r(v)\sin u, h(v)) eine Parametrisierung der Fläche S, wobei wir o. B. d. A. v als Bogenlänge der erzeugenden Kurve (r(v), h(v)) annehmen können. Damit berechnen wir die Koeffizienten der 1. Fundamentalform zu

E(u, v) = (r(v))^2, F(u, v) = 0, G(u, v) = 1.

Sei s \rightarrow \vec c(s) o. B. d. A. nach der Bogenlänge s parametrisiert. Um den Satz von Liouville anwenden zu können, berechnen wir explizit die geodätischen Krümmungen der u-Linien (Breitenkreise) und v-Linien (Meridiane):

\kappa_{g,u} = -\frac{1}{r} \frac{dr}{dv}, \qquad \kappa_{g,v} = 0.

Daraus ergibt sich die geodätische Krümmung der Kurve \vec c zu

\kappa_g = -\frac{1}{r} \frac{dr}{dv} \cos\alpha + \frac{d\alpha}{ds}. (1)

Differenzieren der Funktion C(s) = r(\vec c(s))\cos\alpha(s) liefert:

\frac{dC}{ds} = \frac{dr}{dv} \frac{dv}{ds} \cos\alpha - r\sin\alpha\cdot\frac{d\alpha}{ds}.

Mit \frac{dv}{ds} = \frac{\sin\alpha}{\sqrt G} folgt aus (1)

\frac{dC}{ds} = -r\sin\alpha\cdot\kappa_g

und damit die Behauptung.

Anwendung in der Landesvermessung[Bearbeiten]

In der Landesvermessung stellt sich das Problem, zu gegebenem Anfangspunkt und -richtung eine geodätische Linie zu berechnen, die sogenannte erste geodätische Hauptaufgabe.

Seien a und b die Halbachsen des Referenzellipsoids und e^2 = (a^2 - b^2)/a^2 das Quadrat der (ersten) numerischen Exzentrizität. Der Radius des Breitenkreises mit der ellipsoidischen Breite \phi beträgt

P(\phi) = N(\phi) \cos\phi = \frac{a}{\sqrt{1 - e^2\sin^2\phi}} \cos\phi.

Als Azimut bezeichnet man den Schnittwinkel der Linie mit der Nordrichtung. Damit folgt aus dem Satz von Clairaut die Konstanz von

\frac{a}{\sqrt{1 - e^2\sin^2\phi}} \cos\phi \sin A

entlang der Geodätischen. Führt man die reduzierte Breite \beta gemäß der Formel \tan\beta = \sqrt{1-e^2} \tan\phi ein, so folgt die Konstanz von

\cos\beta \sin A.

Dieser Wert heißt die clairautsche Konstante der geodätischen Linie.

Literatur[Bearbeiten]

  • Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Band 3. 3rd edition. Publish or Perish Press, Houston TX 1999, ISBN 0-914098-72-1, S. 214–216.