Satz von Eilenberg-Zilber

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Der Satz von Eilenberg-Zilber, benannt nach S. Eilenberg und J. A. Zilber, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Er stellt einer Verbindung zwischen den singulären Homologiegruppen eines kartesischen Produktes zweier topologischer Räume und Homologiegruppen der Räume selbst her.

Tensorprodukte von Kettenkomplexen[Bearbeiten]

Sind (C',d') und (C'',d'') zwei Kettenkomplexe, so sei das Tensorprodukt (C',d')\otimes(C'',d'') der Kettenkomplex (C,d) mit

C_n = \bigoplus_{i+j=n} C_i'\otimes C_j''
d_n(c_i'\otimes c_j'') :=  d_i'c_i'\otimes c_j''+(-1)^ic_i'\otimes d_j''c_j'', wobei c_i'\in C_i', c_j''\in C_j'', i+j=n.

Damit ist d_n auf Erzeugern erklärt, und die Rechnung

d_{n-1}d_n(c_i'\otimes c_j'') = d_{n-1}( d_i'c_i'\otimes c_j'') + (-1)^id_{n-1}(c_i'\otimes d_j''c_j'')
=\underbrace{d_{i-1}'d_i'c_i'}_{=0}\otimes c_j'' + \underbrace{(-1)^{i-1}d_i'c_i'\otimes d_j''c_j''  + (-1)^i d_i' c_i'\otimes d_j''c_j''}_{=0} + (-1)^i(-1)^{i-1}c_i'\otimes \underbrace{d_{j-1}''d_j''c_j''}_{=0} = 0

zeigt, dass tatsächlich wieder ein Kettenkomplex vorliegt.

Wenn die Randoperatoren d', d'' bzw. d nicht besonders erwähnt werden sollen, so schreibt man auch einfach C=C'\otimes C'', das gilt insbesondere für singuläre Kettenkomplexe S(X) topologischer Räume X, bei denen die Randoperatoren gegeben sind.

Formulierung des Satzes[Bearbeiten]

Sind X und Y topologische Räume, so ist der singuläre Kettenkomplex S(X\times Y) des Produktraumes ketten-homotopieäquivalent zum Tensorprodukt S(X)\otimes S(Y).[1][2]

Bedeutung[Bearbeiten]

Wegen der Homotopieäquivalenz haben S(X\times Y) und S(X)\otimes S(Y) dieselben Homologiegruppen. Die Berechnung der singulären Homologiegruppen eines Produktraumes ist daher auf ein Problem der homologischen Algebra zurückgeführt, nämlich auf die Berechnung der Homologie eines Tensorproduktes von Kettenkomplexen. Dieses algebraische Problem ist durch den Satz von Künneth gelöst.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Robert M. Switzer: Algebraic Topology – Homotopy and Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 212 (1975), ISBN 3-540-06758-2, Theorem 13.30
  2. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology, Springer-Verlag (1966), ISBN 0-387-90646-0, Kapitel 5, §3, Theorem 6