Satz von Euler (Geometrie)

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In der Geometrie liefert der Satz von Euler, benannt nach Leonhard Euler, eine Formel für die Entfernung d der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks.

d^2 = R (R-2r) \,

Dabei bezeichnet R den Umkreisradius und r den Inkreisradius.

Aus dem Satz folgt unmittelbar die eulersche Ungleichung:

R \ge 2r

Beweis[Bearbeiten]

EulerSatz.png

Es seien U der Umkreismittelpunkt und I der Inkreismittelpunkt des Dreiecks ABC. Die Gerade AI schneidet als Winkelhalbierende nach dem Südpolsatz den Umkreis in einem Punkt L, der auch auf der zugehörigen Mittelsenkrechten liegt. Der zweite Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten (UL) mit dem Umkreis sei M. Bezeichnet man den Fußpunkt des von I aus gefällten Lotes zu AB mit D, dann gilt \overline{ID} = r.

Wegen Übereinstimmung in zwei Winkeln sind die Dreiecke ADI und MBL zueinander ähnlich. Daher gilt \overline{ID} / \overline{LB} = \overline{AI} / \overline{ML} und weiter \overline{ML} \cdot \overline{ID} = \overline{AI} \cdot \overline{LB}. Damit ist gezeigt:

2 R r = \overline{AI} \cdot \overline{LB}

Verbindet man B mit I, so kann man den Außenwinkelsatz verwenden, nach dem ein Außenwinkel (\angle BIL) eines Dreiecks (ABI) so groß ist wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel:

\angle BIL = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}

Außerdem folgt mithilfe des Umfangswinkelsatzes

\angle LBI = \frac{\beta}{2} + \angle LBC = \frac{\beta}{2} + \angle LAC = \frac
{\beta}{2} + \frac{\alpha}{2},

woraus sich \angle BIL = \angle LBI ergibt. Dreieck IBL ist also gleichschenklig; es gilt \overline{LI} = \overline{LB}. Aus dem schon Bewiesenen erhält man

\overline{AI} \cdot \overline{LI} = 2 R r.

Nun seien P und Q die Schnittpunkte der Geraden UI mit dem Umkreis. Anwendung des Sehnensatzes ergibt

\overline{PI} \cdot \overline{QI} = \overline{AI} \cdot \overline{LI} = 2 R r.

Die Streckenlängen auf der linken Seite lassen sich durch den Umkreisradius R und die Entfernung d = \overline{UI} ausdrücken:

(R+d) \cdot (R-d) = 2 R r

Durch eine kurze Umformung erhält man die Behauptung:

R^2 - d^2 = 2 R r \,
d^2 = R^2 - 2 R r = R (R-2r)\,

Verwandte Aussage[Bearbeiten]

Ist r_a der Radius des zur Seite a gehörigen Ankreises, so gilt für die Entfernung d_a zwischen dem Mittelpunkt dieses Ankreises und dem Umkreismittelpunkt:

{d_a}^2 = R (R + 2 r_a)

Entsprechendes gilt für die beiden anderen Ankreise.

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