Satz von Fodor

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Der Satz von Fodor (auch: Pressing Down Lemma) ist ein Satz aus der Mengenlehre, der 1956 von dem ungarischen Mathematiker Géza Fodor entdeckt wurde. Er besagt, dass es für bestimmte Funktionen immer große (d.h. stationäre) Teilmengen gibt, auf denen diese lediglich einen Wert annehmen.

Aussage[Bearbeiten]

Sei S\subseteq\kappa eine stationäre Teilmenge einer regulären, überabzählbaren Kardinalzahl \kappa. Ist f:S\to\kappa eine regressive Funktion, d.h. gilt f(\alpha)<\alpha für alle \alpha\in S, so gibt es eine stationäre Menge T\subseteq S, auf der f konstant ist, d.h. es existiert ein \gamma\in\kappa, sodass f(\alpha)=\gamma für alle \alpha\in T gilt.

Beweis[Bearbeiten]

Annahme, die Aussage gilt nicht: Dann wäre für jedes \gamma\in\kappa die Menge D_\gamma=\{\alpha\in\kappa\mid f(\alpha)=\gamma\} nichtstationär. Daher sind die Komplemente  D_\gamma^{\mathrm C} jeweils club-Mengen, also Elemente des club-Filters \mathcal{C}_\kappa. Dieser ist gegenüber diagonalen Schnitten abgeschlossen, daher gilt \textstyle C=\bigtriangleup_{\gamma<\kappa} D_\gamma^{\mathrm C}=\{\alpha\in\kappa\mid\alpha\in\bigcap_{\gamma<\alpha}D_\gamma^{\mathrm C}\}\in\mathcal{C}_\kappa. Da S stationär ist, ist S\cap C\neq\emptyset. Für \alpha\in S\cap C gilt aber: \forall\gamma<\alpha:\alpha\notin D_\gamma, also f(\alpha)\neq\gamma für alle \gamma<\alpha. Dies steht im Widerspruch zur Regressivität. Also ist die Annahme falsch, das heißt, es gibt eine solche stationäre Menge.

Literatur[Bearbeiten]

  • Fodor, Géza: Eine Bemerkung zur Theorie der regressiven Funktionen, Acta Sci. Math. Szeged, 17 (1956), S. 139-142.
  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.