Satz von Gauß-Bonnet

Der Satz von Gauß-Bonnet (nach Carl Friedrich Gauß und Pierre Ossian Bonnet) ist eine wichtige Aussage über Flächen, die ihre Geometrie mit ihrer Topologie verbindet, indem eine Beziehung zwischen Krümmung und Euler-Charakteristik hergestellt wird. Dieser Satz wurde unabhängig von beiden Mathematikern gefunden.

Aussage

Sei $M$ eine kompakte und orientierbare zweidimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$. Bezeichne mit $K$ die Gaußkrümmung in den Punkten von $M$ und mit $k_g$ die geodätische Krümmung der Randkurve $\partial M$. Dann gilt

$\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M) ,$

wobei $\chi(M)$ die Euler-Charakteristik von $M$ ist. Der Satz kann im Besonderen auf Mannigfaltigkeiten ohne Rand angewendet werden. Dann fällt der Term $\textstyle \int_{\partial M}k_g\;ds$ weg.

Falls $M$ eine Fläche ist, kann der Satz auch für stückweise differenzierbare Randkurven formuliert werden. In diesem Fall ergibt sich auf der linken Seite ein Zusatzterm:

$\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds+\Sigma \text{AW}(\partial M)=2\pi\chi(M).$

Die Außenwinkel AW sind definiert als die Winkel zwischen dem rechts- und linksseitigen Limes der Tangentialvektoren an den Knickstellen von $\partial M$. Die Randkurve muss so orientiert sein, dass $N \times c'$ zur Fläche zeigt. Dabei ist $N$ der Normalenvektor der Fläche und $c'$ der Tangentialvektor an die Randkurve.

Man kann den Satz von Gauß-Bonnet auch auf simpliziale Flächen verallgemeinern, wobei man den Winkeldefekt einer Ecke als diskrete Gaußkrümmung definiert.

Erklärung des Satzes

Verzerrt man die Mannigfaltigkeit, so bleibt ihre Euler-Charakteristik unverändert, im Gegensatz zur Gaußkrümmung an den einzelnen Punkten. Der Satz sagt aus, dass das Integral über die Krümmung, also die Gesamtkrümmung, unverändert bleibt.

Beispiele

Die runde Sphäre $M=S^2$ mit Radius 1 hat in jedem Punkt die Gauß-Krümmung 1. Das Integral über die Gauß-Krümmung entspricht also ihrer Fläche, $4\pi$. Andererseits ist die Euler-Charakteristik 2, da man die Sphäre als Verklebung von zwei (runden) Flächen entlang einer Kante mit einer Ecke bekommt (also 2-1+1=2).

Theorema elegantissimum

Diese von Gauß stammende Folgerung besagt, dass die Gesamtkrümmung $\textstyle \int_{\Delta}K\;dA$ eines einfach zusammenhängenden geodätischen Dreiecks gleich dessen Winkelexzess ist. Für den Spezialfall der 2-Sphäre sieht man über die Außenwinkelsumme eines infinitesimalen (also flachen) Dreiecks von $5\pi$ die Äquivalenz zum Satz von Gauß-Bonnet. Die Äquivalenz gilt allerdings – im zweidimensionalen Fall – auch allgemein, was mithilfe einer Triangulierung eingesehen werden kann, denn für diese gilt:

$2\pi\chi=2\pi(E-K+F)=2\pi(E-\frac 32F+F)=2\pi E-\pi F=\sum\varepsilon.$

Satz von Gauß-Bonnet-Chern

Der Satz lässt sich auf $n$ Dimensionen verallgemeinern, was durch André Weil und Carl B. Allendoerfer 1943 und mit neuen Beweisen durch Chern 1944 geschah.

Sei $M$ eine kompakte orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension und sei $R$ der riemannsche Krümmungstensor. Da für diesen $R(X,Y) = - R(Y,X)$ gilt, kann dieser als vektorwertige Differentialform

$R\in \mathcal{A}^2(M, \mathfrak{so}(TM))$

verstanden werden. Unter diesen Voraussetzungen gilt dann

$\chi (M) = \frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^n}} \int_M \operatorname{Pf}(-R),$

wobei $\operatorname{Pf}$ die pfaffsche Determinante ist.

Mit dem Wissen, dass für den Fredholm-Index von $\mathrm{d} + \mathrm{d}^*$ die Gleichheit $\chi(M) = \operatorname{ind}(\mathrm{d} + \mathrm{d}^*)$ gilt, wobei $\mathrm{d}$ die äußere Ableitung ist, kann dieser Satz als Spezialfall des Atiyah-Singer-Indexsatzes verstanden werden. In diesem Zusammenhang bietet der Satz von Gauß-Bonnet-Chern also eine Möglichkeit zur Berechnung des topologischen Index des Operators $\mathrm{d} + \mathrm{d}^*$.

Literatur

• Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.
• John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.