Satz von Gauß-Bonnet
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Der Satz von Gauß-Bonnet (nach Carl Friedrich Gauß und Pierre Ossian Bonnet) ist eine wichtige Aussage über Flächen, die ihre Geometrie mit ihrer Topologie verbindet, indem eine Beziehung zwischen Krümmung und Euler-Charakteristik hergestellt wird. Dieser Satz wurde unabhängig von beiden Mathematikern gefunden. Man beachte, dass auch französische Geometer ihn mit dem Namen von Gauß und Bonnet bezeichnen.
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[Bearbeiten] Definitionen und Satz
Sei M eine kompakte und orientierbare zweidimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit mit Rand 
. Bezeichne mit K die Gaußkrümmung in den Punkten von M und mit kg die geodätische Krümmung der Randkurve . Dann gilt
wobei χ(M) die Euler-Charakteristik von M ist.
Der Satz kann im Besonderen auf Mannigfaltigkeiten ohne Rand angewendet werden. Dann fällt der Term 
weg.
[Bearbeiten] Erklärung des Satzes
Verzerrt man die Mannigfaltigkeit, so bleibt ihre Euler-Charakteristik unverändert, im Gegensatz zur Gaußkrümmung an den einzelnen Punkten. Der Satz sagt aus, dass das Integral über die Krümmung, also die Gesamtkrümmung, unverändert bleibt.
[Bearbeiten] Beispiele
Die runde Sphäre M = S2 mit Radius 1 hat in jedem Punkt die Gauß-Krümmung 1. Das Integral über die Gauß-Krümmung entspricht also ihrer Fläche, 4π. Andererseits ist die Euler-Charakteristik 2, da man die Sphäre als Verklebung von zwei (runden) Flächen entlang einer Kante mit einer Ecke bekommt (also 2-1+1=2).
[Bearbeiten] Korollare
[Bearbeiten] Theorema elegantissimum
Dieses von Gauß stammende Korollar besagt, dass die Gesamtkrümmung 
eines einfach zusammenhängenden geodätischen Dreiecks gleich dessen Winkelexzess ist. Für den Spezialfall der 2-Sphäre sieht man über die Außenwinkelsumme eines infinitesimalen (also flachen) Dreiecks von 5π die Äquivalenz zum Satz von Gauß-Bonnet. Die Äquivalenz gilt allerdings – im zweidimensionalen Fall – auch allgemein, was mithilfe einer Triangulierung eingesehen werden kann, denn für diese gilt:
[Bearbeiten] Verallgemeinerungen
Der Satz lässt sich auf n Dimensionen verallgemeinern. Man kann ihn ebenfalls auf simpliziale Flächen verallgemeinern, wobei man den Winkeldefekt einer Ecke als diskrete Gausskrümmung definiert.
