Satz von Gauß-Markow

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Der Satz von Gauß-Markow ist ein mathematischer Satz aus dem Bereich der Statistik. Er ist nach den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und Andrei Andrejewitsch Markow benannt.

In Worten lautet dieser Satz: Der Kleinste-Quadrate-Schätzer ist ein minimalvarianter linearer erwartungstreuer Schätzer in einem linearen Modell, wenn die zufälligen Fehler (nicht-erklärten Abweichungen):

Mathematisch kann dies auf folgende Weise wiedergegeben werden: Voraussetzung ist, dass man ein Lineares Modell in der Form

\underline Y = \underline X \underline \beta + \underline \varepsilon

vorliegen hat, wobei \underline Y und \underline \varepsilon jeweils n-dimensionale Zufallsvariable seien (siehe Regressionsanalyse). Hierbei nimmt man von der Datenmatrix \underline X \in \mathbb{R}^{n \times p} an, dass sie vollen (Spalten-)Rang hat, das heißt es gilt \mbox{Rang}(\underline{X})=p \; bzw. \det(\underline{X}^T \underline{X}) > 0. Für den Erwartungswert der Fehler nimmt man an, dass E(\underline{\varepsilon})=0 \; ist. Ferner erwartet man für die Varianz der Fehler, dass \mbox{Cov}(\underline{\varepsilon})=\sigma^2 I_n gilt.

Damit erhält man:

  1. \underline b = (\underline {X}^T \underline X )^{-1} \underline {X}^T \underline y ist BLUE für \underline \beta,
  2. \mbox{Cov}(\underline{b})=\sigma^2 (\underline{X}^T \underline{X})^{-1},
  3. s^2 = \frac{1}{(n-p)} SS_\mathrm{Res}\, ist unverzerrter Schätzer für \sigma^2,

wobei SS_\mathrm{Res} \, die Quadratsumme der Residuen (engl. Residual Sum of Squares) bezeichnet.

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