Satz von Gelfond-Schneider

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Mithilfe des Satzes von Gelfond-Schneider konnte zum ersten Mal eine umfangreiche Klasse von transzendenten Zahlen erzeugt werden. Er wurde zuerst 1934 von dem russischen Mathematiker Alexander Gelfond und unabhängig davon ein Jahr später von Theodor Schneider bewiesen. Der Satz beantwortet Hilberts siebtes Problem.

Aussage des Satzes[Bearbeiten]

Es seien \alpha und \beta algebraische Zahlen (mit \alpha \neq 0, 1).  \beta sei darüber hinaus nicht rational.

Dann besagt der Satz von Gelfond-Schneider:

\, \alpha^{\beta} ist transzendent.

Komplexe Zahlen[Bearbeiten]

Für \alpha und \beta dürfen auch komplexe Zahlen eingesetzt werden. Dann gilt  \alpha^{\beta} = \exp (\beta \cdot \ln \alpha) . Der komplexe Logarithmus ist nur bis auf Vielfache von 2\pi\mathrm i eindeutig bestimmt. Der Satz ist für jede Wahl des Zweigs des Logarithmus richtig.

Anwendungen[Bearbeiten]

Die Transzendenz der folgenden Zahlen folgt unmittelbar aus dem Satz:

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur und Links[Bearbeiten]

  • Alexander Gelfond: On Hilbert's seventh problem. In: Doklady Akademii Nauk SSSR. Izvestija Akedemii Nauk, Moskau 2.1934, S.177-182. ISSN 0002-3264
  • Th. Schneider: Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. Bd I. Transzendenz von Potenzen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. de Gruyter, Berlin 172.1934, S.177-182. ISSN 0075-4102
  • Beweis (auf Englisch) (PDF-Datei; 89 kB)