Satz von Heine

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Der Satz von Heine (nach Eduard Heine; oder auch Satz von Heine-Cantor) aus der reellen Analysis macht eine Aussage über stetige Funktionen. Er wurde 1872 von Eduard Heine bewiesen[1] und nach ihm benannt, nach Aussage von Jürgen Heine wurde diese Tatsache jedoch schon zuvor von Karl Weierstraß entdeckt.[2]

Aussage[Bearbeiten]

Ist eine Funktion f im kompakten Intervall [a,b] stetig, dann ist sie dort sogar gleichmäßig stetig.

Mit anderen Worten: Zu einem beliebigen \varepsilon > 0 existiert ein \delta = \delta(\varepsilon) > 0 derart, dass für zwei beliebige Stellen x_1 und x_2 aus dem Intervall [a,b] mit |x_2 - x_1| < \delta gilt:

|f(x_2) - f(x_1)| < \varepsilon.

Beweis[Bearbeiten]

Ein typischer Beweis erfolgt durch Widerspruch. Ist f nicht gleichmäßig stetig, so gibt es ein \varepsilon > 0 und zu jedem n \in \mathbb{N} Punkte x_n, x_n' \in [a,b], so dass

\left | x_n - x_n' \right | < \frac{1}{n} und \left | f(x_n) - f(x_n') \right | \geq \varepsilon.

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die beschränkte Folge (x_n)_{n\in\mathbb{N}} eine konvergente Teilfolge (x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}, deren Grenzwert x im Intervall [a,b] enthalten ist. Dieser ist wegen

\left |x_{n_k} - x_{n_k}' \right | < \frac{1}{n_k}

ebenfalls Grenzwert der Folge (x_{n_k}')_{k\in\mathbb{N}}. Aus der Stetigkeit von f folgt f(x_{n_k})\to f(x) und f(x_{n_k}')\to f(x). Daher gibt es ein k_0, so dass \left | f(x_{n_k}) - f(x) \right | < \varepsilon/2 und \left | f(x_{n_k}') - f(x) \right | < \varepsilon/2 für alle k\ge k_0. Daraus folgt nun

\left | f(x_{n_k}) - f(x_{n_k}') \right | = \left | (f(x_{n_k}) - f(x)) +(f(x) - f(x_{n_k}')) \right | \leq \left | (f(x_{n_k}) - f(x))\right | + \left |(f(x) - f(x_{n_k}')) \right | <\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon  für alle k\ge k_0,

im Widerspruch zu \left |f(x_{n_k}) - f(x_{n_k}') \right | \geq \varepsilon für alle k. Daher war die gemachte Annahme falsch und es folgt die gleichmäßige Stetigkeit.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Mit einem nahezu identischen Beweis verallgemeinert sich dieser Satz auf kompakte metrische Räume:

Ist K ein kompakter metrischer Raum, M ein metrischer Raum und f:K\rightarrow M stetig, so ist f gleichmäßig stetig.

Gegenbeispiel[Bearbeiten]

Für nicht-kompakte Intervalle ist der Satz von Heine falsch. Die Funktion f:(0,1]\rightarrow \R, x \mapsto \tfrac{1}{x} ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. In der Tat gibt es zu \varepsilon=1 kein \delta >0, das die Bedingung der gleichmäßigen Stetigkeit erfüllt. Ist nämlich \delta>0 beliebig, so gibt es n\in\N mit \tfrac{1}{n} < \delta. Dann folgt

\left|\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right| = \frac{1}{n(n+1)} < \delta,

aber

\left|f\left(\frac{1}{n+1}\right)-f\left(\frac{1}{n}\right)\right| = |(n+1)-n| = 1 \ge \varepsilon.

Also kann f nicht gleichmäßig stetig sein.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. E. Heine: Die Elemente der Funktionenlehre. Journal für die Mathematik von C.W. Borchardt, LXXIV:172-188, Berlin 1872
  2. J. Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-24914-2.