Satz von Krein-Milman

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Für eine kompakte konvexe Menge K (hellblau) und die Menge ihrer Extremalpunkte B (rot) gilt, dass K die abgeschlossene konvexe Hülle von B ist.

Der Satz von Krein-Milman[1] (nach Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.

Aussage[Bearbeiten]

Ist E ein lokalkonvexer Raum und \mathcal{C}\subseteq E eine kompakte und konvexe Teilmenge von ihm, so ist \mathcal{C} gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle der Menge ihrer Extremalpunkte.

Dieser Satz hat eine teilweise Umkehrung, die oft Satz von Milman genannt wird: Ist \mathcal{C}\subseteq E eine kompakte, konvexe Menge und ist T\subseteq \mathcal{C}, so dass \mathcal{C} die abgeschlossene konvexe Hülle von T ist, so muss der Abschluss von T alle Extremalpunkte von \mathcal{C} enthalten.

Der Satz von Choquet verschärft den Satz von Krein-Milman. In endlichdimensionalen Räumen gilt mit dem Satz von Minkowski und dem Satz von Carathéodory eine noch wesentlich schärfere, dimensionsabhängige Aussage.

Anwendung[Bearbeiten]

Der Banachraum c_0 der reellen oder komplexen Nullfolgen mit der Supremumsnorm \|\cdot\|_\infty ist kein Dualraum.

Wäre er ein Dualraum, so wäre die Einheitskugel nach dem Satz von Banach-Alaoglu kompakt in der schwach-*-Topologie, hätte also nach obigem Satz von Krein-Milman Extremalpunkte. Ist aber x=(x_n)_n ein beliebiger Punkt aus der Einheitskugel, so gibt es einen Index m mit |x_m|<\tfrac{1}{2}, denn die Folge konvergiert gegen 0. Ist nun h=(h_n)_n definiert durch h_n=0 für n \not= m und h_m=\tfrac{1}{2}, so ist \|x+h\|_\infty \le 1 und \|x-h\|_\infty \le 1 und x=\tfrac{1}{2}(x+h) + \tfrac{1}{2}(x-h), das heißt der beliebig vorgegebene Punkt x ist kein Extremalpunkt. Also hat die Einheitskugel von c_0 keine Extremalpunkte und c_0 kann daher kein Dualraum sein.

Siehe auch[Bearbeiten]

Quelle[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. M. Krein, D. Milman (1940): "On extreme points of regular convex sets", Studia Mathematica 9, 133–138.