Satz von Krull-Remak-Schmidt

Der Satz von Krull-Remak-Schmidt ist ein wichtiger Satz in der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Er besagt, dass sich unter bestimmten Endlichkeitsvoraussetzungen Gruppen bzw. Moduln im Wesentlichen eindeutig als direktes Produkt ihrer unzerlegbaren Untergruppen bzw. Untermoduln schreiben lassen.

Satz von Krull-Remak-Schmidt für Gruppen

Ist $G$ eine Gruppe, die sowohl die aufsteigende als auch die absteigende Kettenbedingung für normale Untergruppen erfüllt, so lässt sich $G$ als direktes Produkt endlich vieler unzerlegbarer Untergruppen von $G$ schreiben. Bis auf Permutation und Isomorphie sind die unzerlegbaren Untergruppen eindeutig bestimmt.

Satz von Krull-Remak-Schmidt für Moduln

Ist $M\ne 0$ ein Modul, der sowohl noethersch als auch artinsch ist, also endliche Länge hat, so ist $M$ die direkte Summe endlich vieler unzerlegbarer Moduln. Bis auf Permutation und Isomorphie sind die unzerlegbaren Moduln eindeutig bestimmt.

Geschichte des Satzes

In seiner heutigen Fassung geht der Satz zurück auf Arbeiten von Robert Remak (1911), Wolfgang Krull (1925) und Otto Schmidt (1928).

Der Satz für Moduln ist im allgemeinen falsch, wenn man nur voraussetzt, dass der Modul artinsch ist. Das ist die Antwort auf eine Frage, die W. Krull bereits 1932 gestellt hatte.

Quellen

•  T.W. Hungerford: Algebra. Reprint of the 1974 original.. Graduate Texts in Mathematics, Nr. 73, Springer-Verlag, New York-Berlin 1980, ISBN 0-387-90518-9.
•  A. Facchini: Module theory. Endomorphism rings and direct sum decompositions in some classes of modules.. Progress in Mathematics, Nr. 167, Birkhäuser Verlag, Basel 1998, ISBN 3-7643-5908-0.
• A. Facchini, D. Herbera, L.S. Levy, P. Vámos: Krull-Schmidt fails for Artinian modules. Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), no. 12, 3587–3592.
• C.M. Ringel: Krull-Remak-Schmidt fails for Artinian modules over local rings. Algebr. Represent. Theory 4 (2001), no. 1, 77–86.