Satz von Lehmann–Scheffé

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Der Satz von Lehmann–Scheffé (benannt nach Erich Leo Lehmann (20. November 1917 – 12. September 2009) und Henry Scheffé (11. April 1907 – 5. Juli 1977)) ist ein Satz aus der mathematischen Statistik, der zu den grundlegenden Resultaten aus der Schätz-Theorie gehört.

Formulierung[Bearbeiten]

Sei (P_\theta)_{\theta\in\Theta} ein statistisches Modell für X\colon\Omega\rightarrow\mathcal{X}.

Sei g\colon\Theta\rightarrow\Gamma eine Abbildung.

Sei weiter S\colon\mathcal{X}\rightarrow \Sigma eine suffiziente und vollständige Statistik.

Sei T\colon\mathcal{X}\rightarrow\Gamma ein erwartungstreuer Schätzer für g(\theta).

Es existiere eine messbare Abbildung \eta\colon \Sigma\rightarrow\Gamma mit T=\eta\circ S.

Dann ist T gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer, das heißt es existiert kein erwartungstreuer Schätzer für g(\theta) mit kleinerer Varianz als T.

Interpretation[Bearbeiten]

Der Satz von Lehmann–Scheffé hilft einem bei Vorliegen einer suffizienten und vollständigen Statistik einen gleichmäßig besten erwartungstreuen Schätzer zu finden. Ebenso wie der Satz von Rao-Blackwell liefert er Kriterien für beste Schätzer.

Literatur[Bearbeiten]