Satz von Lindemann-Weierstraß

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Der Satz von Lindemann-Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Resultat über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz der eulerschen Zahl e und der Kreiszahl \pi folgt. Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstraß.

Aussage[Bearbeiten]

Seien \alpha_1, \dots, \alpha_n paarweise verschiedene algebraische Zahlen und seien \beta_1, \dots, \beta_n beliebige algebraische Zahlen, wobei nicht alle \beta_k = 0 seien. Dann gilt:

\beta_{1}e^{\alpha_{1}} + \cdots + \beta_{n}e^{\alpha_{n}} \ne 0.

Diesen sehr allgemeinen Satz bewies von Lindemann, um die deutlich schwächeren Resultate der Transzendenz von der eulerschen Zahl e und der Kreiszahl \pi zu zeigen. In den 1960er Jahren wurde von Stephen Schanuel eine Verallgemeinerung dieses Satzes als Vermutung formuliert, siehe Vermutung von Schanuel.

Kurze Zeit nach dem Beweis des Satzes von Lindemann-Weierstraß legte David Hilbert einen deutlich vereinfachten Beweis für die Spezialfälle der Transzendenz der Zahlen e und \pi vor, aus dem sich wiederum auch der allgemeine Satz folgern lässt.

Folgerungen[Bearbeiten]

Diese Ergebnisse folgen direkt aus dem obigen Satz.

Transzendenz von e[Bearbeiten]

Wäre e eine algebraische Zahl, so existierten \beta_0, \dots, \beta_n nicht allesamt null, so dass

\beta_{n}e^{n} + \cdots + \beta_{1}e^{1} + \beta_{0}e^{0} = 0\; ,

was ein offensichtlicher Widerspruch zum obigen Ergebnis wäre.

Transzendenz von π[Bearbeiten]

Um die Transzendenz der Kreiszahl \pi zu zeigen, nehmen wir zunächst an, dass \pi eine algebraische Zahl ist. Da die Menge der algebraischen Zahlen einen Körper bildet, müsste auch \pi i algebraisch sein (i bezeichnet hier die imaginäre Einheit).

Wählen wir nun \beta_1=\beta_2=1 und \alpha_1=\pi i, \alpha_2=0, so erhalten wir mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß und der eulerschen Identität den Widerspruch

0 \ne e^{\pi i} + e^{0} = -1 + 1 = 0.

Dies zeigt, dass unsere Annahme falsch war, die Kreiszahl \pi muss also transzendent sein.

Literatur[Bearbeiten]