Satz von Lindemann-Weierstraß

Der Satz von Lindemann-Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Ergebnis über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz der eulerschen Zahl $e$ und der Kreiszahl $\pi$ folgt. Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstraß.

Aussage

Seien $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ paarweise verschiedene algebraische Zahlen und seien $\beta_1, \dots, \beta_n$ beliebige algebraische Zahlen, wobei nicht alle $\beta_k = 0$ seien. Dann gilt:

$\beta_{1}e^{\alpha_{1}} + \cdots + \beta_{n}e^{\alpha_{n}} \ne 0$.

Diesen sehr allgemeinen Satz bewies von Lindemann, um die deutlich schwächeren Resultate der Transzendenz von der eulerschen Zahl $e$ und der Kreiszahl $\pi$ zu zeigen. In den 1960er Jahren wurde von Stephen Schanuel eine Verallgemeinerung dieses Satzes als Vermutung formuliert, siehe Vermutung von Schanuel.

Kurze Zeit nach dem Beweis des Satzes von Lindemann-Weierstraß legte David Hilbert einen deutlich vereinfachten Beweis für die Spezialfälle der Transzendenz der Zahlen $e$ und $\pi$ vor, aus dem sich wiederum auch der allgemeine Satz folgern lässt.

Folgerungen

Diese Ergebnisse folgen direkt aus dem obigen Satz.

Transzendenz von e

Wäre $e$ eine algebraische Zahl, so existierten $\beta_0, \dots, \beta_n$ nicht allesamt null, so dass

$\beta_{n}e^{n} + \cdots + \beta_{1}e^{1} + \beta_{0}e^{0} = 0\; ,$

was ein offensichtlicher Widerspruch zum obigen Ergebnis wäre.

Transzendenz von π

Um die Transzendenz der Kreiszahl $\pi$ zu zeigen, nehmen wir zunächst an, dass $\pi$ eine algebraische Zahl ist. Da die Menge der algebraischen Zahlen einen Körper bildet, müsste auch $\pi i$ algebraisch sein ($i$ bezeichnet hier die imaginäre Einheit).

Wählen wir nun $\beta_1=\beta_2=1$ und $\alpha_1=\pi i$, $\alpha_2=0$, so erhalten wir mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß und der eulerschen Identität den Widerspruch

$0 \ne e^{\pi i} + e^{0} = -1 + 1 = 0.$

Dies zeigt, dass unsere Annahme falsch war, die Kreiszahl $\pi$ muss also transzendent sein.

Literatur

• Ferdinand Lindemann: Über die Zahl $\pi$. In: Mathematische Annalen 20 (1882), S. 213 - 225.
• David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und $\pi$. In: Mathematische Annalen 43 (1893), S. 216 - 219.