Satz von Mittag-Leffler

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Der Satz von Mittag-Leffler ist ein nach dem Mathematiker Magnus Gösta Mittag-Leffler benannter Satz der Funktionentheorie. In seiner anwendungsorientierten Formulierung garantiert er die Existenz bestimmter meromorpher Funktionen.

Satz[Bearbeiten]

Sei (p_n) eine diskrete Folge verschiedener komplexer Zahlen ohne Häufungspunkt in \C. Dann existiert eine auf \mathbb{C} \backslash \{(p_n)\} holomorphe Funktion, die ausschließlich Polstellen in (p_n) hat und dort jeweils einen vorgegebenen Hauptteil aufweist. Das heißt, zu jedem dieser p_n kann man ein Polynom P_n(z) ohne konstanten Term wählen, nach dem Satz von Mittag-Leffler existiert eine meromorphe Funktion, deren Laurententwicklung auf einer gelochten Kreisscheibe um p_n gerade den Hauptteil P_n(\tfrac{1}{z-p_n}) besitzt. Insbesondere der Grad des Polynoms und damit die Ordnung der Polstelle kann frei gewählt werden.

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Mit der Wahl eines Polynoms an einer Polstelle legt man gleichzeitig die Ordnung des Pols fest, sie ist gleich dem Grad des Polynoms.
  • Ist die Polstellenmenge endlich, so konvergiert die Summe der Hauptteile trivialerweise.
  • Wenn die Polstellenmenge unendlich ist, kann man im Allgemeinen nicht davon ausgehen, dass die Summe der Hauptteile konvergiert. In diesem Fall werden sogenannte konvergenzverbessernde Summanden (auch konvergenzerzeugende S.) für jeden Hauptteil eingeführt. In den meisten Fällen sind dies Taylorpolynome, die den Hauptteil nicht verändern, sondern nur den entsprechenden Nebenteil der Laurententwicklung.

Beispiele[Bearbeiten]

In einem einfachen Beispiel erhält man die Partialbruchzerlegung einer Funktion. Betrachte f(x) = \pi^2/ (\sin(\pi x))^2. f besitzt genau an den ganzen Zahlen Pole zweiter Ordnung. Der Ansatz, als Polynome einfach x^2 und somit für die Hauptteile in n \in \mathbb Z gerade den Term 1/(z-n)^2 zu wählen, führt zu \textstyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} 1/(z-n)^2. Es lässt sich zeigen, dass diese Summe schon konvergiert und gleich f ist. Insbesondere werden keine konvergenzverbessernden Summanden benötigt.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

An Stelle von Polynomen können auch ganze Funktionen gewählt werden, also Potenzreihen ohne konstanten Term, die auf ganz \mathbb C konvergieren. Damit hat die resultierende Funktion aber wesentliche Singularitäten und ist nicht mehr meromorph.

Literatur[Bearbeiten]