Satz von Moivre-Laplace

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Mit wachsender Zahl von Punkten nähert sich die diskrete Binomialverteilung der kontinuierlichen Normalverteilung an.

Der Satz von Moivre-Laplace ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für n \rightarrow \infty und Wahrscheinlichkeiten 0 < p < 1 gegen die Normalverteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann daher die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, was insbesondere bei Hypothesentests Anwendung findet.

Beim Satz von Moivre-Laplace, der nach Abraham de Moivre und Pierre-Simon Laplace benannt ist, handelt es sich um einen Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes.

Aussage[Bearbeiten]

Ist S_n eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parameter n und 0 < p < 1, dann gilt

\lim_{n\to\infty}\operatorname{P}\left(\frac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} < z\right) = \Phi(z)  .

Mit Hilfe einer Substitution sieht man, dass

\lim_{n\to\infty}\left(\operatorname{P}(S_n < t) - \Phi \left( \frac{t - np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)\right)=0.

Dabei steht \Phi(z) für die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung, die auch als Gaußsches Fehlerintegral bezeichnet wird. Werte für \Phi(z) entnimmt man üblicherweise einer Tabelle.

Der Satz von Moivre-Laplace liefert ausreichend gute Näherungen wenn n und p die folgende Bedingung erfüllen:[1]

np(1-p) > 9

Beispiel[Bearbeiten]

Plot der Dichte der Normalverteilung mit μ = 12 und σ = 3 und der Binomialverteilung mit n = 48 und p = 1/4

Gegeben sei eine Binomialverteilung mit n=48 und p=\tfrac 1 4, damit gilt folglich np(1-p) = 9. Wir vergleichen mit einer Normalverteilung mit Mittelwert  \mu=n p= 12 und einer Varianz  \sigma^2 = np(1-p) = 9 .

Anwendungen[Bearbeiten]

Der Satz von Moivre-Laplace ist die theoretische Grundlage der Normal-Approximation, einer Methode, mit der die Binomialverteilung angenährt werden kann.

Einzelnachweis[Bearbeiten]

  1. Michael Sachs: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieurstudenten an Fachhochschulen. Fachbuchverlag Leipzig, München 2003, ISBN 3-446-22202-2, S. 129–130

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]