Satz von Paley-Wiener

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Der Satz von Paley-Wiener, benannt nach Raymond Paley und Norbert Wiener, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er charakterisiert die Fourier-Laplace-Transformationen glatter Funktionen mit kompaktem Träger bzw. temperierter Distributionen mit kompaktem Träger mittels Wachstumsbedingungen.

Einführung[Bearbeiten]

Ist f:\R^n\rightarrow \R eine glatte Funktion, so kann man bekanntlich die Fourier-Transformierte

\hat{f}(\xi) := (2\pi)^{-n/2}\int_{\R^n}f(x)e^{-i\langle \xi,x\rangle}\mathrm{d}x

bilden, wobei \xi\in \R^n und \langle \xi,x\rangle das Skalarprodukt der Vektoren \xi,x\in \R^n ist. Diese Formel ist auch für komplexe Vektoren \zeta \in \C^n sinnvoll. Man nennt

F_f:\C^n\rightarrow \C, \, F_f(\zeta) :=(2\pi)^{-n/2}\int_{\R^n}f(x)e^{-i\langle \zeta,x\rangle}\mathrm{d}x

die Fourier-Laplace-Transformierte von f. Durch Dualisierung kann man diese Begriffsbildung auf Distributionen mit kompaktem Träger ausdehnen. Ist T eine temperierte Distribution, so ist durch

\hat{T}(\xi) := (2\pi)^{-n/2}\, T(x\mapsto e^{-i\langle \xi,x\rangle})

die Fourier-Transformierte definiert. Dazu ist nur zu beachten, dass x\mapsto e^{-i\langle \xi,x\rangle} eine glatte Funktion ist und dass die Distributionen mit kompaktem Träger genau die stetigen, linearen Funktionale auf dem Raum der glatten Funktionen sind. Obige Formel lässt sich offensichtlich auch für \zeta \in \C^n schreiben und man nennt

F_T( \zeta):= (2\pi)^{-n/2}\,T(x\mapsto e^{-i\langle \zeta,x\rangle})

wieder die Fourier-Laplace-Transformierte von T.

Die Fourier-Laplace-Transformierten sind holomorphe Funktionen \C^n\rightarrow \C und es stellt sich die Frage, welche holomorphen Funktionen hier als Fourier-Laplace-Transformationen auftreten können. Genau diese Frage beantwortet der Satz von Paley-Wiener.[1][2]

Satz von Paley-Wiener für Funktionen[Bearbeiten]

Eine holomorphe Funktion F:\C^n\rightarrow \C ist genau dann die Fourier-Laplace-Transformierte einer glatten Funktion mit Träger in der Kugel \{x\in \R^n|\,\|x\|\le B\}, wenn es zu jedem N\in \N eine reelle Konstante C_N>0 gibt, so dass

|F(\zeta)| \le C_N(1+\|\zeta\|)^{-N}e^{B\|\mathrm{Im}\zeta\|}

für alle \zeta\in \C^n.

Dabei ist \mathrm{Im}\zeta der reelle Vektor der Imaginärteile der Komponenten des Vektors \zeta.

Satz von Paley-Wiener für Distributionen[Bearbeiten]

Eine holomorphe Funktion F:\C^n\rightarrow \C ist genau dann die Fourier-Laplace-Transformierte einer Distribution mit Träger in der Kugel \{x\in \R^n|\,\|x\|\le B\}, wenn es Konstanten N\in \N und C>0 gibt, so dass

|F(\zeta)| \le C(1+\|\zeta\|)^{N}e^{B\|\mathrm{Im}\zeta\|}

für alle \zeta\in \C^n.

Bemerkung[Bearbeiten]

Die Bedingung im Satz für Funktionen ist restriktiver als die Bedingung im Satz für Distributionen. Das ist nicht verwunderlich, denn jede glatte Funktionen f mit kompaktem Träger definiert mittels \textstyle T_f(g) := \int_{\R^n}f(x)g(x)\mathrm{d}x eine Distribution T_f mit kompakten Träger, der im Träger von f liegt, und für die Fourier-Laplace-Transformationen gilt

F_{T_f}(\zeta) = (2\pi)^{-n/2}\,T_f(x\mapsto e^{-i\langle \zeta,x\rangle}) = (2\pi)^{-n/2}\int_{\R^n}f(x)e^{-i\langle \zeta,x\rangle}\mathrm{d}x =F_f(\zeta),

das heißt die Fourier-Laplace-Transformierte einer glatten Funktion mit kompaktem Träger ist auch die Fourier-Laplace-Transformierte der durch sie definierten Distribution mit kompaktem Träger.

Beispiele[Bearbeiten]

Die Sätze von Paley-Wiener sollen anhand von zwei Beispielen erläutert werden.

Sei zunächst f(x) := e^{-x^2}. Die Fourier-Laplace-Transformierte ist

F_f(\zeta) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{1}{4}\zeta^2}.

Ist \zeta = \xi+i\eta die Zerlegung in Real- und Imaginärteil, so ist \zeta^2 = \xi^2 + 2i\eta\xi - \eta^2, das heißt F_f wächst für festen Realteil wie e^{\frac{1}{4}\eta^2}, jedenfalls schneller als e^{B|\eta|} = e^{B|\mathrm{Im}\zeta|} für jede Konstante B>0. Dies spiegelt gemäß obiger Sätze die Tatsache wider, dass f keinen kompakten Träger hat,

Sei nun T die Distribution \textstyle T(\varphi) := \int_{[-1,1]}\varphi(x)\mathrm{d}x. Eine kurze Rechnung zeigt

F_T(\zeta) = (2\pi)^{-1/2}\int_{[-1,1]}e^{-ix\zeta}\mathrm{d}x = \ldots = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sin(\zeta)}{\zeta},

wobei für \zeta = 0 stetig zu \textstyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} fortgesetzt wird. Ist \zeta = \xi+i\eta die Zerlegung in Real- und Imaginärteil, so gilt \sin(\zeta) = \sin(\xi)\cosh(\eta) + i\cos(\xi)\sinh(\eta), das heißt |\sin(\zeta)| lässt sich gegen e^{|\eta|}=e^{1\cdot|\mathrm{Im}\zeta|} abschätzen, denn die hyperbolischen Funktionen erlauben eine solche Abschätzung. Daraus folgt, dass F_T die Wachstumsbedingung aus dem Satz von Paley-Wiener für Distributionen mit B=1 erfüllt. In der Tat ist T eine Distribution mit dem kompakten Träger [-1,1]. Die holomorphe Funktion F_T erfüllt aber nicht die Bedingung aus dem Satz von Paley-Wiener für Funktionen, denn gäbe es für N=2 eine Konstante C_N wie im Satz, so folgte

\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{|\sin(\zeta)|}{|\zeta|} \le \frac{C_2}{(1+|\zeta|)^2}e^{B|\mathrm{Im}\zeta|}.

Speziell für reelle \zeta ist der Exponentialterm gleich 1 und es folgte \textstyle |\sin(\zeta)| \le C_2\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{|\zeta|}{(1+|\zeta|)^2}, und damit würde die Sinusfunktion für große reelle Argumente gegen 0 gehen, was aber bekanntlich nicht der Fall ist. Zwar kommt die Distribution von der charakteristischen Funktion des Intervalls [-1,1] her, und diese hat auch einen kompakten Träger, aber sie ist nicht glatt.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. S. R. Simanca: Pseudo-differential Operators, John Wiley & Sons Inc. 1991, ISBN 0-470-21688-3, Theorem 1.2.10
  2. K. Yosida: Functional Analasys, Springer-Verlag 1974, ISBN 0-387-06812-0, Kapitel VI.4, The Paley-Wiener Theorems. The One-sided Laplace Transform