Satz von Pascal

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Satz von Pascal
Satz von Pascal: Kanten-Graph
Satz von Pascal: Indizes 2 und 5 vertauscht
Satz von Pascal: affine Form
Satz v.Pascal: Ausartungen

Der Satz von Pascal (nach Blaise Pascal) ist eine Aussage in projektiven Ebenen und besagt:

Für beliebige 6 Punkte P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6 eines nicht ausgearteten Kegelschnitts in einer projektiven Ebene liegen die Punkte

 P_7:= \overline{P_1P_2}\cap \overline{P_4P_5},
 P_8:= \overline{P_6P_1}\cap \overline{P_3P_4},
 P_9:= \overline{P_2P_3}\cap \overline{P_5P_6}

auf einer Gerade, der Pascal-Gerade (s. Bild). (Zum Beweis s. weblink planar circlegeometries, S. 29-30 oder R. Stärk: Darstellende Geometrie, S. 114.)

Die Nummerierung gibt an, welche 6 der 15 Verbindungsgeraden der 6 Punkte benutzt werden und welche Kanten benachbart sind. Die Numerierung ist so gewählt, dass der Kantengraph durch ein reguläres 6-Eck dargestellt werden kann. Geraden zu gegenüberliegenden Kanten des Kantengraph's werden also geschnitten. Sollen andere Kanten in die Pascalfigur eingehen, muss man die Indizes entsprechend permutieren. Für die 2. Pascal-Konfiguration wurden die Indizes 2 und 5 vertauscht (s. Bild, unten).

Nichtausgeartet heißt hier: keine 3 Punkte liegen auf einer Gerade. Den Kegelschnitt kann man sich also als Ellipse vorstellen. (Ein sich schneidendes Geradenpaar ist ein ausgearteter Kegelschnitt.)

Kegelschnitte sind nur in solchen projektiven Ebenen definiert, die sich über (kommutativen) Körpern koordinatisieren lassen. Beispiele von Körpern sind: die reellen Zahlen \R, die rationalen Zahlen \Q, die komplexen Zahlen \C , endliche Körper. Jeder nicht ausgeartete Kegelschnitt einer projektiven Ebene lässt sich in geeigneten homogenen Koordinaten durch die Gleichung  x_1x_2=x_0^2 beschreiben (s. projektiver Kegelschnitt).

Bemerkungen:

  • Der Satz von Pascal ist die duale Version des Satzes von Brianchon.
  • Zum Satz von Pascal gibt es Ausartungen mit 5 bzw. 4 bzw. 3 Punkten (auf einem Kegelschnitt). Bei einer Ausartung fallen zwei durch eine Kante verbundene Punkte formal zusammen und die zugehörige Sekante der Pascalfigur wird durch die Tangente in dem verbleibenden Punkt ersetzt. Siehe hierzu die Figur unten und weblink planar circlegeometries, S.30-35. Durch eine geeignete Wahl einer Gerade der Pascalfiguren als Ferngerade ergeben sich Schließungssätze für Hyperbeln und Parabeln. Siehe Hyperbel und Parabel.
  • Falls der Kegelschnitt vollständig in einer affinen Ebene enthalten ist, gibt es auch eine affine Form des Satzes:
Für beliebige 6 Punkte P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6 eines nicht ausgearteten Kegelschnitts in einer affinen Ebene, für die sowohl das
Geradenpaar \overline{P_1P_2}, \overline{P_4P_5} als auch das Geradenpaar\overline{P_6P_1}, \overline{P_3P_4} parallel sind,
sind auch  \overline{P_2P_3} und  \overline{P_5P_6} parallel (s. Bild). (Die affine Form gibt es z.B. in der reellen und der rationalen affinen Ebene, aber nicht in der komplexen affinen Ebene.)
  • Die Figur der sechs Punkte auf dem Kegelschnitt wird auch Hexagrammum Mysticum genannt [1] .
  • Der Satz von Pascal ist auch für ein Geradenpaar (ausgearteter Kegelschnitt) gültig und ist dann identisch mit dem Satz von Pappos-Pascal.
  • Der Satz von Pascal wurde durch August Ferdinand Möbius im Jahre 1847 verallgemeinert:
Angenommen, ein Polygon mit 4n + 2 Seiten sei in einen Kegelschnitt einbeschrieben. Nun verlängert man die gegenüberliegenden Seiten, bis sie sich in 2n + 1 Punkten schneiden. Liegen dann 2n dieser Punkte auf einer gemeinsamen Linie, so liegt auch der letzte Punkt auf dieser Linie.

Literatur[Bearbeiten]

  • Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Klett Stuttgart, 1983
  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4-te Auflage, Vieweg 1985, ISBN 3-528-37235-4, S.199
  • Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie, Akad. Verl. Leipzig, 1965, S.60
  • Roland Stärk: Darstellende Geometrie, Schöningh-Verlag, Paderborn, 1978, ISBN 3-506-37443-5

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie, B. G. Teubner, Leipzig 1867 (bei Google Books: [1]), 2.Teil, S.128