Satz von Peano

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Der Satz von Peano ist ein Satz aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Er gibt eine einfache Voraussetzung an, unter der das Anfangswertproblem (mindestens) eine lokale Lösung besitzt. Dieser Satz wurde 1886 vom Mathematiker Giuseppe Peano mit einem fehlerhaften Beweis veröffentlicht. 1890 lieferte er einen korrekten Beweis nach.

Gegenüber dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf hat der Existenzsatz von Peano den Vorteil, dass er schwächere Voraussetzungen besitzt. Dafür macht er keine Aussage bezüglich der Eindeutigkeit der Lösung.

Besitzt man erst einmal eine (lokale) Lösung, kann man aus dieser in einem zweiten Schritt auf die Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung schließen. In dieser Hinsicht ist der Satz von Peano ein erster Schritt für die Existenztheorie einer Differentialgleichung.

Formulierung[Bearbeiten]

Sei F: G \rightarrow \R^n eine stetige Funktion. Ihr Definitionsbereich G sei eine [a,b] \times \overline{B}(y_0, R) umfassende Teilmenge von \mathbb{R} \times \R^n. Dabei bezeichne \overline{B}(y_0, R) die abgeschlossene Kugel um y_0 \in \R^n mit Radius R > 0, d.h.

\overline{B}(y_0,R) := \{z \in \R^n\ |\ \|z-y_0\| \leq R\}.

Dann gibt es zu jedem Anfangswertproblem \ y(a)=y_0 der Differentialgleichung \ y'(t)=F(t,y(t)) wenigstens eine lokale Lösung. Genauer heißt das, dass es ein \alpha>0 gibt und eine stetig differenzierbare Funktion y:[a,a+\alpha]\to \R^n, die zwei Bedingungen erfüllt:

  • Für alle t\in[a,a+\alpha] liegt der Punkt (t,y(t)) in G.
  • Für alle t\in[a,a+\alpha] ist die Differentialgleichung \ y'(t)=F(t,y(t)) erfüllt.

Ein solches \alpha > 0 kann man genau angeben: Auf der abgeschlossenen und beschränkten Menge [a,b] \times \overline{B}(y_0,R) besitzt die stetige Funktion \|F\| einen maximalen Wert, setze

M := \max\{\|F(x,y)\|\ |\ (x,y) \in [a,b]\times \overline{B}(y_0,R)\}.

Diese Zahl ist eine Schranke für die Steigung einer möglichen Lösung. Man wähle nun

\alpha := \min\left\{b-a, \frac{R}{M}\right\} > 0\ .

Dann existiert (mindestens) eine Lösung des Anfangswertproblems

y'=F(x,y)\ ,\ y(a) = y_0

auf dem Intervall \ [a,a+\alpha] mit Werten in \overline{B}(y_0,R).

Bemerkung: Analog können komplexe Differentialgleichungen betrachtet werden, indem man Real- und Imaginärteil einer komplexen Komponente als eigenständige reelle Komponente betrachtet, d.h., indem \mathbb C^n, die komplexe Multiplikation vergessend, mit dem \R^{2n} identifiziert wird.

Für reelle Banachräume[Bearbeiten]

X sei ein reeller Banachraum und f:[0,T] \times X \to X stetig und kompakt. Zu jedem Anfangswert  x_0 \in X existieren dann ein  \tau > 0 und eine Lösung  x(\cdot) \in C^1([0,\tau],X) der gewöhnlichen Differentialgleichung

 x'(\cdot)=f(\cdot,x(\cdot))

mit  x(0) = x_0 .

Bemerkung: Im Falle dim(X)<\infty folgt aus der Stetigkeit die Kompaktheit von  f .

Beweisskizze des endlichdimensionalen Falles[Bearbeiten]

Dieser Satz wird in zwei Teilen bewiesen. Im ersten Schritt besorgt man sich mit Hilfe des eulerschen Polygonzugverfahrens zu jedem \varepsilon>0 spezielle \varepsilon-Näherungslösungen dieser Differentialgleichung, genauer: Man konstruiert eine stückweise stetig differenzierbare Funktion y_\varepsilon \in C([a,a+\alpha]; \overline{B}(y_0,R)) mit y_\varepsilon(a) = y_0, welche

\|y_\varepsilon'(x) - F(x,y_\varepsilon(x))\| \leq \varepsilon

in jedem Differenzierbarkeitspunkt erfüllt sowie die Gleichstetigkeitsbedingung

\|y(t)-y(s)\| \leq M|t-s|

für alle s,t \in [a,a+\alpha].

Im zweiten Schritt zeigt man mit Hilfe des Satzes von Arzelà-Ascoli, dass es eine gleichmäßig konvergente Teilfolge (y_{\varepsilon_j})_{j\in\mathbb{N}} gibt. Von ihrer Grenzfunktion y zeigt man dann, dass sie die Integralgleichung

y(x) = y_0 + \int_a^xF(s,y(s)){\rm d}s

erfüllt. Aus dem Fundamentalsatz der Analysis folgt dann, dass y stetig differenzierbar ist und der Differentialgleichung \ y'(x) = F(x,y(x)) genügt.

\Box

Beweisskizze für reelle Banachräume[Bearbeiten]

Wir betrachten die entsprechende Volterra-Integralgleichung für  t \in [0,\tau]

 x(t) = x_0 + \int_0^t f(s,x(s)) ds.

Wir definieren den Operator

 T: C^0([0,\tau],B_1(x_0)) \to C^0([0,\tau],B_1(x_0)), x(\cdot) \mapsto x_0 + \int_0^{\cdot} f(s,x(s)) ds.

Dieser Operator ist stetig bezüglich der Supremumsnorm, da  \overline{f([0,1] \times B_2(x_0))} \subset X kompakt und somit beschränkt ist. Des Weiteren ist  \tau :=\min(1,(\sup_{[0,1]\times B_2(x_0)}|f|)^{-1}). Mittels des Satzes von Arzela Ascoli kann man zeigen, dass  T(C^0([0,\tau],B_1(x_0))) relativ kompakt bzgl. der Supremumsnorm in  C^0([0,\tau],X) ist. Also ist T eine stetige Funktion, die von einer abgeschlossenen, konvexen Teilmenge  K \subset X in eine kompakte Teilmenge  C \subset K abbildet. Somit besitzt T mindestens einen Fixpunkt nach dem Fixpunktsatz von Schauder. Jeder dieser Fixpunkte ist Lösung der Volterra-Integralgleichung und damit der Differentialgleichung.

Literatur[Bearbeiten]