Satz von Picard

Die Sätze von Picard (nach Émile Picard) sind Sätze der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik.

Sie lauten wie folgt:

• Der Kleine Satz von Picard besagt, dass das Bild jeder nicht-konstanten ganzen Funktion die gesamte komplexe Zahlenebene ist, aus der höchstens ein Punkt herausgenommen wurde.

• Der Große Satz von Picard besagt, dass eine holomorphe Funktion mit einer wesentlichen Singularität in jeder noch so kleinen Umgebung dieser Singularität jeden komplexen Wert mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft annimmt.

Bemerkungen

• In beiden Sätzen ist die eventuelle „Ausnahme eines Punktes“ offenbar nötig. Zum Beispiel bildet $z\mapsto e^z$ nicht auf $0$ ab, ebenso ist $0$ nicht im Bild von $z\mapsto e^{1/z}$ einer jeden punktierten Umgebung von $0$ enthalten.

• Der Kleine Satz folgt sofort aus dem Großen Satz, denn eine ganze Funktion ist entweder ein Polynom oder sie hat eine wesentliche Singularität in $\infty$.

• Der Große Satz verallgemeinert den Satz von Weierstraß-Casorati.

• Eine Vermutung von B. Elsner ist mit dem Großen Satz von Picard verwandt: Sei $\dot{\mathbb{E}}=\mathbb{E} \setminus \{0\}$ die punktierte offene Einheitskreisscheibe und $U_1,U_2,\dots,U_n$ eine endliche offene Überdeckung von $\dot{\mathbb{E}}$. Auf jedem $U_j$ sei eine schlichte (d.h. injektive holomorphe) Funktion $f_j$ gegeben, so dass $\mathrm{d}f_j = \mathrm{d}f_k$ auf jeder Schnittmenge $U_j\cap U_k$. Dann verschmelzen die Differentiale zu einer meromorphen 1-Form auf der Einheitskreisscheibe $\mathbb{E}$. (Im Fall, dass das Residuum verschwindet, folgt die Vermutung aus dem Großen Satz.)

Literatur

•  Heinrich Behnke und Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1965.