Satz von Picard

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Die Sätze von Picard (nach Émile Picard) sind Sätze der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik.

Sie lauten wie folgt:

  • Der Große Satz von Picard besagt, dass eine holomorphe Funktion mit einer wesentlichen Singularität in jeder noch so kleinen Umgebung dieser Singularität jeden komplexen Wert mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft annimmt.[1]

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • In beiden Sätzen ist die eventuelle „Ausnahme eines Punktes“ offenbar nötig. Zum Beispiel bildet z\mapsto e^z nicht auf 0 ab, ebenso ist 0 nicht im Bild von z\mapsto e^{1/z} einer jeden punktierten Umgebung von 0 enthalten.
  • Der Kleine Satz folgt sofort aus dem Großen Satz, denn eine ganze Funktion ist entweder ein Polynom oder sie hat eine wesentliche Singularität in \infty.
  • Eine Vermutung von B. Elsner[2] ist mit dem Großen Satz von Picard verwandt: Sei \dot{\mathbb{E}}=\mathbb{E} \setminus \{0\} die punktierte offene Einheitskreisscheibe und U_1,U_2,\dots,U_n eine endliche offene Überdeckung von \dot{\mathbb{E}}. Auf jedem U_j sei eine schlichte (d.h. injektive holomorphe) Funktion f_j gegeben, so dass \mathrm{d}f_j = \mathrm{d}f_k auf jeder Schnittmenge U_j\cap U_k. Dann verschmelzen die Differentiale zu einer meromorphen 1-Form auf der Einheitskreisscheibe \mathbb{E}. (Im Fall, dass das Residuum verschwindet, folgt die Vermutung aus dem Großen Satz.)

Weblinks[Bearbeiten]

Ausarbeitung zum kleinen und großen Satz von Picard mit Anwendungen

Literatur[Bearbeiten]

  •  Heinrich Behnke und Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1965.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Behnke / Sommer: S. 490.
  2.  Bernhard Elsner: Hyperelliptic action integral. In: Annales de l'institut Fourier. 49, Nr. 1, 1999, S. 303–331 (PDF, 2 MB, abgerufen am 9. September 2010). S. 330.