Satz von Plancherel

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Der Satz von Plancherel ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Der Satz besagt, dass die Fourier-Transformation auf dem Raum L^2 der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche L^2-Norm haben. Im Jahr 1910 wurde die Aussage von Michel Plancherel bewiesen, nach dem der Satz auch benannt ist.

Aussage[Bearbeiten]

Es existiert eine Isometrie \Psi \colon L^2(\R^n) \to L^2(\R^n), die unitär ist und eindeutig durch

\Psi(f) = \mathcal{F}(f)

für alle f \in \mathcal{S} bestimmt ist, wobei \mathcal{F} die Fourier-Transformation und \mathcal{S} den Schwartz-Raum bezeichnet.

Bemerkungen[Bearbeiten]

  1. Die Gleichheit \Psi(f) = \mathcal{F}(f) gilt nicht nur für f \in \mathcal{S}, sondern auch für f \in L^1(\R^n) \cap L^2(\R^n), da \mathcal{S} sowohl in L^1(\R^n) als auch in L^2(\R^n) dicht liegt. Da \Psi auf L^2(\R^n) und die Fourier-Transformation \mathcal{F} auf L^1(\R^n) definiert ist, kann man \Psi als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf L^2(\R^n) verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt.
  2. Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem zugrunde liegt.

Literatur[Bearbeiten]

  • Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 188–189, ISBN 0070542368

Weblinks[Bearbeiten]