Satz von Rademacher

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Der Satz von Rademacher, benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans Rademacher, ist ein Satz der Analysis über Lipschitz-stetige Funktionen.

Aussage[Bearbeiten]

Seien n, m \in \N natürliche Zahlen, U \subseteq \R^n eine offene Teilmenge eines euklidischen Raumes und schließlich f \colon U \to \R^m eine Lipschitz-stetige Funktion. Dann ist f fast überall (total) differenzierbar.[1]

Das heißt, die Menge aller Punkte, in denen f nicht differenzierbar ist, ist eine Lebesgue-Nullmenge.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen f\colon U \to (X;d_X), wobei X nun einen beliebigen metrischen Raum bezeichne.

Zunächst ist jedoch nicht klar, wie sich obiger Satz auf diesen Fall übertragen lässt, denn ein metrischer Raum trägt nicht a priori auch eine lineare Struktur.

Fasst man f als Funktion zwischen normierten Räumen auf und legt die Fréchet-Differenzierbarkeit zu Grunde, dann wird der Satz sogar falsch:

Als Gegenbeispiel dient hier klassisch die Funktion \Phi\colon [0;1] \to L^1([0;1]), \ t \mapsto \chi_{[0;t]}. Wobei \chi_{[0;t]} die charakteristische Funktion des Teilintervalls [0;t] bezeichne.
Es gilt für beliebige \ 1 \ge y \ge x \ge 0:
\|\Phi(y)-\Phi(x)\|_{L^1} = \int_0^1 |\chi_{[0,y]}(t)-\chi_{[0,x]}(t)|\,dt = \int_x^y 1\ dt = |y-x|\,.
Dabei bezeichne \|.\|_{L^1} die L1-Norm (siehe auch: Lp-Raum). Das heißt \Phi ist eine Isometrie und damit erst recht Lipschitz-stetig, es lässt sich aber zeigen, dass \Phi nirgendwo Fréchet-differenzierbar ist.

Der deutsche Mathematiker Bernd Kirchheim hat nun aber den Satz von Rademacher in einem anderen Sinne verallgemeinern können:[2]

Ist eine Funktion von einem euklidischen in einen metrischen Raum Lipschitz-stetig, so ist sie fast überall metrisch differenzierbar.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis (PDF; 481 kB), Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. (Satz von Rademacher inklusive eines Beweises: S. 18ff.) Abgerufen am 12. Juni 2012.
  2. Bernd Kirchheim: Rectifiable metric spaces: Local structure and regularity of the Hausdorff measure; zitiert nach: Proceedings of the American Mathematical Society: Volume 121, Number 1, May 1994. Abgerufen am 12. Juni 2012.