Satz von Schoenflies

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Der im Jahre 1908 von Arthur Moritz Schoenflies bewiesene Satz von Schoenflies bildet ein wesentliches Bindeglied zwischen der Topologie und dem kombinatorischen Problem des Kartenfärbens (Vier-Farben-Satz). Anschaulich besagt er: Malt man eine geschlossene Kurve (ohne Überkreuzungen) auf ein Gummituch, dann kann man das Tuch so verziehen, dass aus der Kurve ein Kreis wird.

Satz[Bearbeiten]

Es sei K\subset\mathbb R^2 eine geschlossene Jordankurve und S^1\subset\mathbb R^2 bezeichne den Einheitskreis. Dann läßt sich jeder Homöomorphismus h: K \to S^1 zu einem Homöomorphismus H: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 fortsetzen.

Höhere Dimensionen[Bearbeiten]

Die unmittelbare Verallgemeinerung des Satzes von Schoenflies auf höhere Dimensionen gilt nicht, da in drei Dimensionen Alexanders Sphäre (siehe [1] und Weblink) ein Gegenbeispiel bietet.

Dagegen hat Morton Brown den Satz wie folgt verallgemeinert: Wird eine (n-1)-dimensionale Sphäre S lokal flach in eine n-dimensionale Sphäre S^n eingebettet, so ist das Paar (S^n,S) homöomorph zu (S^n,S^{n-1}), wobei S^{n-1} der Äquator der n-Sphäre ist. (Dabei heißt eine Einbettung i:S^{n-1}\rightarrow S^n lokal flach, wenn es eine Einbettung S^{n-1}\times \left[0,1\right]\rightarrow S^n gibt, die auf S^{n-1}\times\left\{0\right\}=S^{n-1} mit i übereinstimmt.)

Folgerung[Bearbeiten]

Der Satz von Schoenflies zieht unmittelbar den Jordanschen Kurvensatz nach sich: Die beiden disjunkten Gebiete, in die   \R^2  \setminus K   zerlegt wird, sind gerade  H^{-1}(\{x\in \R^2 : \|x\|_2 < 1\})  (das beschränkte Gebiet) und  H^{-1}(\{x\in \R^2 : \|x\|_2 > 1\})  (das unbeschränkte Gebiet) [2] .

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Christenson / Voxman: S. 144.
  2.  Harzheim: S. 150.