Satz von Schur-Zassenhaus

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Der Satz von Schur-Zassenhaus ist ein mathematischer Satz in der Gruppentheorie. Der nach Issai Schur und Hans Julius Zassenhaus benannte Satz lautet[1]:

Die Untergruppe U in obigem Satz ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, aber man kann zeigen, dass je zwei solche Untergruppen konjugiert sind.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die zyklische Gruppe G=\Z/6\Z = \{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{5}\} hat den Normalteiler N=\{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}. Da die Zahlen |N|=3 und [G:N]=2 teilerfremd sind, kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden. U=\{\overline{0},\overline{3}\} ist offenbar die einzige Untergruppe, die die Aussage des Satzes erfüllt. Da die Gruppe G abelsch ist, ist das semidirekte Produkt in diesem Fall sogar direkt.
  • Die symmetrische Gruppe G=S_3=\{e,d,d^2,s_1,s_2,s_3\} hat den Normalteiler N=\{e,d,d^2\}. Wegen |N|=3 und [G:N]=2 kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden, offenbar erfüllen die drei Untergruppen U_i=\{e,s_i\},\,i=1,2,3 die Aussage des Satzes.
  • Die zyklische Gruppe G=\Z/4\Z = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\} hat den Normalteiler N=\{\overline{0},\overline{2}\}. Hier sind |N|=2 und [G:N]=2 nicht teilerfremd, weshalb der Satz nicht anwendbar ist. Tatsächlich gibt es keine Untergruppe U\subset G, die die Aussage des Satzes erfüllt, denn eine solche müsste ein Element der Ordnung 2 haben, aber das einzige Element der Ordnung 2 ist \overline{2} und das liegt bereits in N. Dieses Beispiel zeigt, dass auf die Teilerfremdheit von |N| und [G:N] in obigem Satz nicht verzichtet werden kann.
  • Ist N irgendeine Gruppe, so zeigt das Beispiel G=N \times N, dass die Teilerfremdheitsbedingung nicht notwendig ist für das Bestehen einer Darstellung als semidirektes, ja sogar direktes, Produkt.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Rowen B. Bell, J. L. Alperin: Groups and Representations, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Band 162, ISBN 0-387-94526-1 (Kapitel 9: The Schur-Zassenhaus-Theorem)

Quellen[Bearbeiten]