Satz von Schwarz

Der Satz von Schwarz (nach Hermann Amandus Schwarz; wird auch Satz von Clairaut genannt) ist ein Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen. Er besagt, dass bei mehrfach differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen die Reihenfolge, in der die partiellen Differentiationen (Ableitungen) nach den einzelnen Variablen durchgeführt werden, nicht entscheidend für das Ergebnis ist.

Tatsächlich leitet er zusätzlich aus der Existenz der beispielsweise partiellen ersten Ableitungen und einer partiellen zweiten Ableitung die Existenz und den Wert einer weiteren partiellen zweiten Ableitung her.

Aussage

Sei $U \subseteq \mathbb{R}^n$ eine offene Menge sowie $f: U \to \mathbb{R}$ mindestens p-mal differenzierbar und sind alle p-ten Ableitungen in U zumindest noch stetig, so ist die Reihenfolge der Differentiation in allen q-ten partiellen Ableitungen mit $q \le p$ unerheblich.

Für n = 2 gilt also

$\frac{\partial}{\partial x}\left ( \frac{\partial }{\partial y} f(x,y) \right ) = \frac{\partial}{\partial y}\left ( \frac{\partial }{\partial x} f(x,y) \right ).$

Der Satz gilt schon unter leicht schwächeren Voraussetzungen: Es genügt, dass die ersten partiellen Ableitungen im betrachteten Punkt total differenzierbar sind.

Andere Schreibweisen

Nachdem die Vertauschbarkeit gegeben ist, kann man die Klammern weglassen:

$\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y\partial x}$ oder auch ${f_{xy}\;=\;f_{yx}}$.

Wenn man die partielle Differentiation selbst als Abbildung von $C^{2}(U,\mathbb{R})$ nach $C^{1}(U,\mathbb{R})$ und von $C^{1}(U,\mathbb{R})$ nach $C^{0}(U,\mathbb{R})$ auffasst, kann man noch kürzer schreiben:

$\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}$ oder auch $\partial_1 \partial_2 = \partial_2 \partial_1$.

Andere Formulierungen

Der Satz von Schwarz sagt auch aus, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist.

Fasst man $f \in C^2(U,\mathbb{R})$ als differenzierbare 0-Form auf und schreibt d für die äußere Ableitung, so hat der Satz von Schwarz die Form d(df) = 0 bzw. auch einfach nur dd = 0.

Für $U \subseteq \R^3$ lässt sich das auch wie folgt formulieren: Die Rotation des Gradientenvektorfelds ist gleich null: $\operatorname{rot} (\operatorname{grad} f) = 0$, oder mit Nabla-Symbol geschrieben: $\vec\nabla \times \vec \nabla f = \vec 0$. Das Gradientenvektorfeld ist also wirbelfrei.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ durch $f(x,y)=e^{x^2} \sin{y}.$ Es ergibt sich für die ersten partiellen Ableitungen

$f_x=2x e^{x^2} \sin{y} \qquad f_y=e^{x^2} \cos{y}.$

und für die beiden zweiten partiellen Ableitungen f_xy und f_yx

$f_{xy}=2x e^{x^2} \cos{y} \qquad f_{yx}=2x e^{x^2} \cos{y}.$

Es ist zu erkennen, dass gilt f_xy = f_yx.

Weblinks

• Earliest Uses: Clairaut's theorem, Schwarz' theorem and Young's theorem