Satz von Seifert und van Kampen

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Der Satz von Seifert und van Kampen (benannt nach Herbert Seifert und Egbert van Kampen) ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der algebraischen Topologie. Er macht eine Aussage über die Struktur der Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes X, indem man die Fundamentalgruppen zweier offener, wegzusammenhängender Unterräume U und V, welche X überdecken, betrachtet. So kann man die Fundamentalgruppe von komplizierten Räumen aus denjenigen einfacherer Räume berechnen.

Die einfache Hälfte des Satzes[Bearbeiten]

Es sei  (X,*) ein wegzusammenhängender punktierter Raum. Weiter sei (U_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda } eine offene Überdeckung von X durch wegzusammenhängende Teilmengen, die alle den Punkt * enthalten und deren paarweise Schnitte jeweils auch wegzusammenhängend sind.

Für \lambda \in \Lambda sei f_{\lambda }:(U_{\lambda },*) \rightarrow (X,*) die Inklusion. Dann wird \pi_{1}(X,*) erzeugt von den Untergruppen \pi_{1}(f_{\lambda })(U_{\lambda },*),\lambda \in \Lambda.

Die Aussage ist also, dass die relativen Homotopieklassen in X von geschlossenen Wegen, die ganz in einem U_{\lambda } verlaufen, die Fundamentalgruppe von X erzeugen. Insbesondere ist X einfach zusammenhängend, wenn jedes U_{\lambda } diese Eigenschaft besitzt.

Der eigentliche Satz von Seifert und van Kampen[Bearbeiten]

Es seien X ein wegzusammenhängender topologischer Raum, U_1 , U_2 \subseteq X offen und wegzusammenhängend, sodass X = U_1 
\cup U_2 gilt, und * \in U_3 := U_1 \cap U_2 . Auch U_3 sei wegzusammenhängend. Zu den Inklusionen von U_3 nach U_1 , U_2 gehören (nicht notwendigerweise injektive) Homomorphismen

  v_i : \pi_1 (U_3 , *) \rightarrow \pi _1 (U_i , *), i = 1, 2.

Zu den Inklusionen von U_j nach X gehören Homomorphismen

u_j : \pi_1 (U_j , *) \rightarrow \pi_1 (X, *), 1 \leq j \leq 3.

Offensichtlich gilt hierbei u_3 = u_i \circ v_i , i = 1, 2. Es seien weiter H eine beliebige Gruppe, und p_j : \pi_1 (U_j , 
*) \rightarrow H Gruppenhomomorphismen mit der Eigenschaft

p_3 = p_i \circ v_i , i = 1, 2.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus p : \pi_1 (X, *) \rightarrow H, sodass

p_j= p \circ u_j, 1 \leq j \leq 3.

Also sagt der Satz von Seifert und van Kampen eine universelle Abbildungseigenschaft der ersten Fundamentalgruppe aus.

Kombinatorische Version[Bearbeiten]

In der Sprache der kombinatorischen Gruppentheorie ist \pi _1(X,*) das amalgamierte Produkt von \pi _1(U_1,*) und \pi _1(U_2,*) über \pi _1(U_3,*) via der Homomorphismen u_1 und u_2. Wenn diese drei Fundamentalgruppen folgende Präsentierungen haben:

\pi_1(U_1,*) = \langle \alpha_1,...,\alpha_k | r_1,...,r_l\rangle,
\pi_1(U_2,*) = \langle \beta_1,...,\beta_m | s_1,...,s_n\rangle und
\pi_1(U_3,*) = \langle \gamma_1,...,\gamma_p | t_1,...,t_q\rangle,

dann kann die Amalgamierung als

\pi_1(X,*) = \pi_1(U_1,*) \; *_{\pi_1(U_3,*)} \; \pi_1(U_2,*)
 =  \langle \alpha_1,...,\alpha_k, \beta_1,...,\beta_m | r_1,...,r_l, s_1,...,s_n, u_1(\gamma_1)=u_2(\gamma_1),...,u_1(\gamma_p)=u_2(\gamma_p)\rangle

präsentiert werden. Die Fundamentalgruppe von X ist also erzeugt von den Schleifen in den Teilräumen U_1 und U_2; als zusätzliche Relationen kommt nur hinzu, dass eine Schleife im Schnitt U_3 unabhängig davon, ob man sie als Element von \pi _1(U_1,*) oder von \pi _1(U_2,*) auffasst, dasselbe Element repräsentiert.

Beispiel zum Hilfssatz[Bearbeiten]

Man nehme die n-dimensionale Sphäre S^{n}, n \geq 2 und Q,P zwei verschiedene Punkte aus S^{n}. Dann sind U_1 := S^n \setminus \{P\} und U_2 := S^n \setminus \{Q\} wegzusammenhängend. Ihr Durchschnitt ist wegen n \geq 2 auch wegzusammenhängend.

Nun ist aber S^n \setminus \{P\}, mittels der stereographischen Projektion, homöomorph zu \mathbb{R}^n. Da \mathbb{R}^n kontrahierbar ist, gilt dies also auch für U_1 und U_2 und daher haben diese triviale Fundamentalgruppen. Dies ist nicht vom Fußpunkt abhängig. Daher ist auch \pi_1 (S^n ) trivial.

Folgerungen[Bearbeiten]

Wenn die Fundamentalgruppe \pi_1 (U_3, *) trivial ist, dann sagt der Satz von Seifert und van Kampen, dass \pi_1 (X, *) das freie Produkt von \pi_1 (U_1, *) und \pi_1 (U_2, *) ist. Es wird von diesen Gruppen erzeugt und zwischen den Erzeugern gibt es keine Relationen, die nicht schon in \pi_1 (U_1, *) oder \pi_1 (U_2, *) gewesen wären. Insbesondere sind u_1 und u_2 injektiv.

Siehe auch[Bearbeiten]