Satz von Varignon

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Satz von Varignon beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken. Namensgeber ist Pierre de Varignon (1654–1722).

Formulierung[Bearbeiten]

Viereck mit konstruiertem Parallelogramm

Wenn man die Mitten benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.

Beweis[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

\overline{AE}=\overline{EB}, \overline{BF} = \overline{FC}, \overline{CG} = \overline{GD}, \overline{DH} = \overline{HA}

Behauptung[Bearbeiten]

Das Viereck EFGH ist ein Parallelogramm.

Gang des Beweises[Bearbeiten]

  1. Betrachte das Dreieck ABC. Nimmt man B als Streckzentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bildgerade und Urgerade sind parallel – folgt AC ∥ EF.
  2. Ebenso zeigt man, dass AC ∥ GH, BD ∥ FG, und BD∥ HE.
  3. Die Parallelität ist transitiv. Also ist EF ∥ HG und FG ∥ HE.

Die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Folgerungen[Bearbeiten]

Umfang des Varignon-Parallelogramms[Bearbeiten]

Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Diagonalen im Ursprungsviereck.

Fläche des Varignon-Parallelogramms[Bearbeiten]

Die Fläche des Varignon-Parallelogramms ist halb so groß wie die Fläche des Ursprungsvierecks.

Weblinks[Bearbeiten]