Satz von Wedderburn

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Satz von Wedderburn (nach Joseph Wedderburn) gehört zum mathematischen Teilgebiet der Algebra. Er besagt, dass jeder endliche Schiefkörper ein Körper ist, das heißt wenn ein Schiefkörper nur endlich viele Elemente enthält, folgt daraus automatisch die Kommutativität der Multiplikation. Mit anderen Worten: Jeder Schiefkörper, der kein Körper ist (in dem die Multiplikation also nicht kommutativ ist), muss unendlich viele Elemente enthalten.

Neben Wedderburn (der mehrere Beweise gab, zuerst 1905[1]) haben auch andere Mathematiker unterschiedliche Beweise für den Satz geliefert, zum Beispiel Leonard Dickson, Emil Artin, Ernst Witt (der Beweis umfasst eine Seite),[2] Hans Zassenhaus, Israel Herstein.

Es gibt noch andere bekannte Sätze, die manchmal auch einfach Satz von Wedderburn genannt werden, wie sein Satz zur Klassifikation halbeinfacher Algebren,[3] verallgemeinert im Satz von Artin-Wedderburn. Im Englischen wird Wedderburns Satz über endliche Schiefkörper deshalb auch Kleiner Satz von Wedderburn genannt.

Anwendung[Bearbeiten]

Dieser Satz hat eine wichtige Anwendung in der synthetischen Geometrie: Für endliche affine oder projektive Ebenen folgt aus dem Satz von Desargues der Satz von Pappos.[4] Man kann jede desarguessche Ebene als affine bzw. projektive Ebene über einem Schiefkörper K betrachten, wobei der Satz von Pappos genau dann gilt, wenn K kommutativ ist. Hier kommt der Satz von Wedderburn zum Einsatz. Für diesen rein geometrischen Sachverhalt kennt man bis heute keinen geometrischen Beweis.[4]

Die umgekehrte Aussage: Jede pappossche Ebene ist desarguessch wird als Satz von Hessenberg (nach Gerhard Hessenberg) bezeichnet und gilt für jede affine und jede projektive Ebene.[4]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Wobei der erste fehlerhaft war. Die Geschichte der Beweise ist von Karen Parshall untersucht worden.
  2. Ernst Witt, Über die Kommutativität endlicher Schiefkörper, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Band 8, 1931, S. 413, doi:10.1007/BF02941019
  3. Zum Beispiel Bartel L. van der Waerden, Algebra, Band 2, Springer, Heidelberger Taschenbücher, S.73
  4. a b c  Heinz Lüneburg: Die euklidische Ebene und ihre Verwandten. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1999, ISBN 3-7643-5685-5, III: Papossche Ebenen (Ausführliche Diskussion und Beweis des Satzes von Hessenberg, Erläuterungen, wie der Satz von Pappos die algebraische Struktur des Koordinatenkörpers bestimmt, Digitalisierte Leseprobe bei google-books, abgerufen am 30. Juli 2013).