Satz von Weierstraß-Casorati

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Der Satz von Weierstraß-Casorati (nach Karl Weierstraß und Felice Casorati) ist ein Satz aus der Funktionentheorie und beschäftigt sich mit dem Verhalten holomorpher Funktionen in Umgebungen wesentlicher Singularitäten. Er hat aber eine schwächere Aussage als die Sätze von Picard.

Der Satz[Bearbeiten]

Sei z_0 ein Punkt eines Gebietes G. z_0 ist eine wesentliche Singularität der auf G\setminus\{z_0\} holomorphen Funktion f genau dann, wenn für jede in G liegende Umgebung U von z_0 das Bild f(U\setminus \{z_0\}) dicht in \mathbb{C} liegt.

Anders formuliert: Eine holomorphe Funktion hat genau dann in z_0 eine wesentliche Singularität, wenn in jeder (noch so kleinen) Umgebung von z_0 jede komplexe Zahl beliebig genau als ein Bild von f approximiert werden kann.

Beweis[Bearbeiten]

Wir zeigen die Kontraposition der Aussage: z_0 ist genau dann keine wesentliche Singularität, wenn es eine Umgebung U\subseteq G von z_0 gibt und eine nichtleere offene Menge V\subset\C, so dass f(U\setminus\{z_0\}) disjunkt zu V ist.

Sei zunächst z_0 keine wesentliche Singularität, also entweder eine hebbare Singularität oder eine Polstelle. Im hebbaren Fall ist (die stetige Fortsetzung von) f in einer Umgebung U von z_0 beschränkt, etwa |f(z)|<r für alle z\in U\setminus\{z_0\}. Dann ist V:=\{z \in \C\colon |z|>r\} disjunkt zu f(U\setminus\{z_0\}). Hat f dagegen in z_0 eine Polstelle, so ist f(z)=\tfrac{g(z)}{(z-z_0)^m} für eine natürliche Zahl m und ein holomorphes g mit g(z_0)\ne0. In einer hinreichend kleinen \varepsilon-Umgebung U von z_0 gilt |g(z)|> \tfrac12|g(z_0)| und folglich |f(z)|> \tfrac1{2\varepsilon^m}|g(z_0)|, d. h. f(U\setminus\{z_0\}) ist disjunkt zu V:=\{z \in \C\colon |z|<\tfrac1{2\varepsilon^m}|g(z_0)|\}.

Sei jetzt umgekehrt U\subseteq G eine Umgebung von z_0 und V\subset\C offen, nicht leer und disjunkt zu f(U\setminus\{z_0\}). Dann enthält V eine offene Kreisscheibe, es gibt also eine Zahl w\in\C und ein r>0 mit |f(z)-w|>r für alle z\in U\setminus\{z_0\}. Es folgt, dass \tfrac1{f(z)-w} auf U\setminus\{z_0\} durch \tfrac 1r beschränkt ist. Nach dem riemannschen Hebbarkeitssatz ist \tfrac1{f(z)-w} zu einer auf ganz U holomorphen Funktion g fortsetzbar. Da g nicht die Nullfunktion sein kann, gibt es ein m\in\N_0 und holomorphes h mit g(z)=(z-z_0)^m\cdot h(z) und h(z_0)\ne 0. In einer möglicherweise kleineren Umgebung U'\subseteq U von z_0 ist auch \tfrac1{h(z)} holomorph. Dies bedeutet

(z-z_0)^mf(z) = \frac1{h(z)}+(z-z_0)^mw für alle z\in U'\setminus\{z_0\}.

Die rechte Seite ist holomorph, also hat f in z_0 allenfalls eine Polstelle vom Grad m.

Literatur[Bearbeiten]