Satz von Wolstenholme

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Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. In einer möglichen Form besagt er:

Ist p \geq 5 eine Primzahl, so ist der Zähler der rationalen Zahl

1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \ldots + \frac1{p-1}

durch p^2 teilbar.[1][2]

Beispiele, andere Formulierungen, Folgerungen[Bearbeiten]

Der Satz lässt sich gut an einigen Beispielen veranschaulichen. Betrachten wir:

  • p=7, dann ist 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac15 + \tfrac16 = \tfrac{49}{20}, und der Zähler ist offensichtlich durch 7^2 teilbar.
  • p=13, dann ist 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac15 + \tfrac16 + \tfrac17 + \tfrac18 + \tfrac19 + \tfrac1{10} + \tfrac1{11} + \tfrac1{12} = \tfrac{86021}{27720}. Der Zähler 86021 muss nun nach dem Satz durch 13^2 teilbar sein: 86021=13^2 \cdot 509

Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von

1 + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \frac1{4^2} + \ldots + \frac1{(p-1)^2}

durch p teilbar ist.[3]

Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz

\binom{2p}{p} \equiv 2 \mod{p^3},

die auch in der Form

\binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \mod{p^3}

geschrieben werden kann.

Wolstenholme-Primzahlen[Bearbeiten]

Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:[4]

  • Der Zähler von
1 + \frac12 + \frac13 + \dots + \frac1{p-1}
ist durch p^3 teilbar.
  • Der Zähler von
1 + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \dots + \frac1{(p-1)^2}
ist durch p^2 teilbar.
  • Es gilt die Kongruenz
\binom{2p}{p} \equiv 2 \mod{p^4}
bzw. die Kongruenz
\binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \mod{p^4}.

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964)[5] und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993).[6] Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 109 sein.[7] Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa \log(\log(x)) unterhalb x (McIntosh 1995).[8]

Verwandter Begriff[Bearbeiten]

Betrachtet man nur ungerade Nenner, also die Summe

1 + \frac13 + \frac15 + \dots + \frac1{p-2}

für eine Primzahl p \geq 3, so ist der Zähler genau dann durch p teilbar, wenn die stärkere Form

2^{p-1} \equiv 1 \mod{p^2}

des Satzes von Euler-Fermat gilt.[9] Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.

Geschichte[Bearbeiten]

Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz

\binom{np-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n.

Charles Babbage bewies 1819[10] die Kongruenz

\binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}

für jede Primzahl p > 2.

Joseph Wolstenholme bewies 1862[1] die Kongruenz

\binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}

für jede Primzahl p > 3.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b J. Wolstenholme: On certain properties of prime numbers, The quarterly journal of pure and applied mathematics 5, 1862, S. 35–39 (englisch)
  2. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers, 2008, S. 112 (englisch; Theorem 115)
  3. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers, 2008, S. 114 (englisch; Theorem 117)
  4. Anthony Gardiner: Four problems on prime power divisibility, The American Mathematical Monthly 95, Dezember 1988, S. 926–931 (englisch)
  5. J. L. Selfridge, B. W. Pollack: Fermat’s last theorem is true for any exponent up to 25,000, Notices of the AMS 11, 1964, S. 97 (englisch; nur Zusammenfassung; 16843 nicht ausdrücklich angegeben)
  6. J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall, T. Metsänkylä: Irregular primes and cyclotomic invariants to four million, Mathematics of Computation 61, Juli 1993, S. 151–153 (englisch)
  7. Richard J. McIntosh, Eric L. Roettger: A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes (PDF-Datei, 151 kB), Mathematics of Computation 76, Oktober 2007, S. 2087–2094 (englisch)
  8. Richard J. McIntosh: On the converse of Wolstenholme’s theorem (PDF-Datei, 190 kB), Acta Arithmetica 71, 1995, S. 381–389 (englisch)
  9. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers, 2008, S. 135 (englisch; Theorem 132)
  10. Charles Babbage: Demonstration of a theorem relating to prime numbers, The Edinburgh philosophical journal 1, 1819, S. 46–49 (englisch; „n+1.n+2.n+3...“ bedeutet „(n+1)(n+2)(n+3)…“; die Umkehrung wird auch behauptet: „otherwise it is not“, aber nicht bewiesen und ist falsch für Quadrate von Wolstenholme-Primzahlen)

Weblinks[Bearbeiten]