Satz von Young (Mengenlehre)

Der Satz von Young (nach William Henry Young) ist eine Aussage aus der deskriptiven Mengenlehre und der Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, die die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Funktionen beschreibt.

Mit Hilfe des Satzes von Young und des Satzes von Baire lässt sich beispielsweise zeigen, dass es keine Funktion geben kann, die an allen irrationalen Stellen unstetig und an allen rationalen Stellen stetig ist.

Satz

Die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Funktion $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ist eine F_σ-Menge (siehe Borel-Hierarchie), also eine abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen, die Menge der Stetigkeitsstellen dagegen eine G_δ-Menge, also ein abzählbarer Schnitt offener Mengen.

Man kann auch beweisen, dass es für jede F_σ-Menge $\mathcal{A}$ eine Funktion gibt, so dass $\mathcal{A}$ die Menge ihrer Unstetigkeitstellen ist.

Beispiel

Die Funktion

$r(x)=\begin{cases} \frac{1}{q}, & x\in\mathbb Q,\ q=\min\{n:n\in\mathbb{N},\ nx\in\mathbb{Z}\}\\ 0, & x\in\mathbb R \setminus\mathbb Q, \end{cases}$

die jeder rationalen Zahl den Stammbruch mit demselben Nenner zuordnet und irrationale Zahlen auf 0 abbildet, ist an allen rationalen Stellen unstetig und an allen irrationalen Stellen stetig. Die Menge der rationalen Punkte $\mathbb{Q}$ ist als eine abzählbare Vereinigung von abgeschlossenen (nämlich einpunktigen) Mengen eine F_σ-Menge:

$\mathbb{Q}=\bigcup_{x\in\mathbb Q}\left\{x\right\}$

Beweis

Siehe: Beweis des Satzes von Young im Beweisarchiv

Literatur

• Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre (1914). Nachdr.: Chelsea Publishing Company, New York, 1949
• Klaus Gloede: Skriptum zur Vorlesung Deskriptive Mengenlehre. (PDF; 764 kB) Mathematisches Institut der Universität Heidelberg, Juni, 2006