Satz von der majorisierten Konvergenz

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Satz von der majorisierten Konvergenz (auch Satz von der majorisierenden Konvergenz, Satz von der dominierten Konvergenz oder Satz von Lebesgue) ist eine zentrale Grenzwertaussage in der Maß- und Integrationstheorie und geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück.

Der Satz liefert ein Entscheidungskriterium für die Vertauschbarkeit von Integral- und Grenzwertbildung.

Die formale Aussage des Satzes[Bearbeiten]

Sei (\Omega,\mathcal{A},\mu) ein Maßraum und sei \left(f_n\right) eine Folge von \mathcal{A}-messbaren Funktionen f_n \colon \Omega\to\R\cup\{\infty\}.

Die Folge  \left( f_n \right) konvergiere \mu-fast überall gegen eine \mathcal{A}-messbare Funktion f. Ferner werde die Folge \left(f_n\right) von einer \mu-integrierbaren Funktion \,g auf \,\Omega majorisiert, sprich für alle  n \in \mathbb{N} gelte  |f_{n}| \leq g \mu-fast überall. Beachte, dass bei der hiesigen Definition von Integrierbarkeit der Wert \infty ausgeschlossen ist, das heißt \textstyle \int_\Omega|g|\,d\mu < \infty.

Dann sind  f und alle  f_n \,\mu-integrierbar und es gilt:

\lim_{n \rightarrow \infty}\int_\Omega{|f_n - f|}\,d\mu = 0    

Dies impliziert auch, dass

\lim_{n \rightarrow \infty}\int_\Omega{f_n\,}d\mu = \int_\Omega{f\,}d\mu

Bemerkung zu den Voraussetzungen[Bearbeiten]

  • Auf die Voraussetzung der Majorisierbarkeit |f_n|\le g kann nicht verzichtet werden. Als Beispiel dient die Folge (q_n)_{n\in \mathbb{N}}, definiert durch q_n\colon \R \rightarrow \R, q_n := n \chi_{(0,\frac{1}{n})}, wobei \chi_{[0,\frac1 n]} die Indikatorfunktion auf (0,\tfrac1 n) bezeichne. Es gilt \lim\limits_{n \to \infty} q_n = 0 überall, aber dennoch ist
 \lim_{n \to \infty} \int_{\R} q_n \,d\lambda = \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \ne 0 =  \int_{\R} 0 \,d\lambda= \int_{\R} \lim_{n \to \infty} q_n\,d\lambda.
  • Auf die Voraussetzung, dass die Funktion f messbar ist, kann man verzichten, wenn stattdessen bekannt ist, dass (\Omega,\mathcal{A},\mu) ein vollständiger Maßraum ist, weil dann die Funktion f automatisch messbar ist. Ebenso folgt die Messbarkeit von f, falls bekannt ist, dass die Folge überall, und nicht nur fast überall gegen f konvergiert.

Majorisierte Konvergenz in L^p-Räumen (Folgerung)[Bearbeiten]

Sei (\Omega,\mathcal{A},\mu) ein Maßraum, p\ge1 eine reelle Zahl und sei \left(f_n\right) eine Folge von \mathcal{A}-messbaren Funktionen f_n:\Omega\to\R\cup\{\infty\}.

Weiter konvergiere die Folge  \left( f_n \right)  \mu-fast überall gegen eine \mathcal{A}-messbare Funktion  f, und die Folge \left(f_n\right) werde von einer Funktion \,g\in L^p majorisiert, d.h., für alle  n \in \mathbb{N} gilt  |f_{n}| \leq g \mu-fast überall.

Dann sind alle f_n und auch  f in L^p und es gilt: Die Folge  \left( f_n \right) konvergiert gegen  f im Sinne von L^p, d.h.

\lim_{n \rightarrow \infty}\|f_n-f\|_p =\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\int_\Omega |f_n-f|^p \,d\mu\right)^{1/p} = 0.

Beweisskizze: Anwendung des Originalsatzes auf die Funktionenfolge h_n = |f_n-f|^p mit der Majorante (2g)^p.

Majorisierte Konvergenz für Zufallsvariablen[Bearbeiten]

Da Zufallsvariable auch nichts anderes als messbare Funktionen auf besonderen Maßräumen, nämlich den Wahrscheinlichkeitsräumen sind, lässt sich der Satz über die majorisierte Konvergenz auch auf Zufallsvariable anwenden. Hier lassen sich sogar die Voraussetzungen an die Folge abschwächen: Es genügt, dass die Folge in Wahrscheinlichkeit konvergiert anstelle der stärkeren Forderung der punktweisen Konvergenz fast überall:

Sei (\Omega,\mathcal{A},P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, p\ge1 eine reelle Zahl und sei \left(X_n\right) eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen.

Weiter konvergiere die Folge  \left( X_n \right) in Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable  X und die Folge \left(X_n\right) werde von einer Zufallsvariablen \,Y\in L^p majorisiert, d.h. für alle  n \in \mathbb{N} gilt  |X_{n}| \leq Y P-fast überall.

Dann sind alle X_n und auch  X in L^p und es gilt: Die Folge  \left( X_n \right) konvergiert gegen  X im Sinne von L^p und \lim_{n \rightarrow \infty}E\left[X_n\right] = E\left[X\right]

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]