Satz von der majorisierten Konvergenz

Der Satz von der majorisierten Konvergenz (auch Satz von der majorisierenden Konvergenz, Satz von der dominierten Konvergenz oder Satz von Lebesgue) ist eine zentrale Grenzwertaussage in der Maß- und Integrationstheorie und geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück.

Der Satz liefert ein Entscheidungskriterium für die Vertauschbarkeit von Integral- und Grenzwertbildung.

Die formale Aussage des Satzes

Sei $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ ein Maßraum und sei $\left(f_n\right)$ eine Folge von $\mathcal{A}$-messbaren Funktionen $f_n \colon \Omega\to\R\cup\{\infty\}$.

Die Folge $\left( f_n \right)$ konvergiere $\mu$-fast überall gegen eine $\mathcal{A}$-messbare Funktion $f$. Ferner werde die Folge $\left(f_n\right)$ von einer $\mu$-integrierbaren Funktion $\,g$ auf $\,\Omega$ majorisiert, sprich für alle $n \in \mathbb{N}$ gelte $|f_{n}| \leq g$ $\mu$-fast überall. Beachte, dass bei der hiesigen Definition von Integrierbarkeit der Wert $\infty$ ausgeschlossen ist, das heißt $\textstyle \int_\Omega|g|\,d\mu < \infty$.

Dann sind $f$ und alle $f_n \,\mu$-integrierbar und es gilt:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\int_\Omega{f_n\,}d\mu = \int_\Omega{f\,}d\mu$     sowie

$\lim_{n \rightarrow \infty}\int_\Omega{|f_n - f|}\,d\mu = 0$

Bemerkung zur Voraussetzung

Auf die Voraussetzung der Majorisierbarkeit $|f_n|\le g$ kann nicht verzichtet werden. Als Beispiel dient die Folge $(q_n)_{n\in \mathbb{N}}$, definiert durch $q_n : [0,1] \rightarrow\mathbb{R}, q_n := n \chi_{[0,\frac{1}{n}]}$, worin $\chi_{[0,\frac1 n]}$ die Indikatorfunktion auf $[0,\tfrac1 n]$ bezeichne.

Es gilt $\lim q_n = 0$ fast überall, aber dennoch ist

$\lim \int_{[0,1]} q_n = \lim 1 = 1 \ne 0 = \int_{[0,1]} 0 = \int_{[0,1]} \lim q_n$.

Majorisierte Konvergenz in $L^p$-Räumen (Folgerung)

Sei $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ ein Maßraum, $p\ge1$ eine reelle Zahl und sei $\left(f_n\right)$ eine Folge von $\mathcal{A}$-messbaren Funktionen $f_n:\Omega\to\R\cup\{\infty\}$.

Weiter konvergiere die Folge $\left( f_n \right)$ $\mu$-fast überall gegen eine $\mathcal{A}$-messbare Funktion $f$, und die Folge $\left(f_n\right)$ werde von einer Funktion $\,g\in L^p$ majorisiert, d.h., für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $|f_{n}| \leq g$ $\mu$-fast überall.

Dann sind alle $f_n$ und auch $f$ in $L^p$ und es gilt: Die Folge $\left( f_n \right)$ konvergiert gegen $f$ im Sinne von $L^p$, d.h.

$\lim_{n \rightarrow \infty}\|f_n-f\|_p =\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\int_\Omega |f_n-f|^p \,d\mu\right)^{1/p} = 0$.

Beweisskizze: Anwendung des Originalsatzes auf die Funktionenfolge $h_n = |f_n-f|^p$ mit der Majorante $(2g)^p$.

Majorisierte Konvergenz für Zufallsvariablen

Da Zufallsvariable auch nichts anderes als messbare Funktionen auf besonderen Maßräumen, nämlich den Wahrscheinlichkeitsräumen sind, lässt sich der Satz über die majorisierte Konvergenz auch auf Zufallsvariable anwenden. Hier lassen sich sogar die Voraussetzungen an die Folge abschwächen: Es genügt, dass die Folge in Wahrscheinlichkeit konvergiert anstelle der stärkeren Forderung der punktweisen Konvergenz fast überall:

Sei $(\Omega,\mathcal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $p\ge1$ eine reelle Zahl und sei $\left(X_n\right)$ eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen.

Weiter konvergiere die Folge $\left( X_n \right)$ in Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable $X$ und die Folge $\left(X_n\right)$ werde von einer Zufallsvariablen $\,Y\in L^p$ majorisiert, d.h. für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $|X_{n}| \leq Y$ $P$-fast überall.

Dann sind alle $X_n$ und auch $X$ in $L^p$ und es gilt: Die Folge $\left( X_n \right)$ konvergiert gegen $X$ im Sinne von $L^p$ und $\lim_{n \rightarrow \infty}E\left[X_n\right] = E\left[X\right]$

Siehe auch

• Satz von der monotonen Konvergenz
• Lemma von Fatou

Literatur

• Elliott H. Lieb & Michael Loss: Analysis, Second Edition, ISBN 0-8218-2783-9