Satz von der monotonen Konvergenz

Der Satz von der monotonen Konvergenz, auch Satz von Beppo Levi genannt (nach Beppo Levi), ist ein wichtiger Satz aus der Maß- und Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er trifft eine Aussage darüber, unter welchen Voraussetzungen sich Integration und Grenzwertbildung vertauschen lassen.

Mathematische Formulierung

Sei $(\Omega,\mathcal{S},\mu)$ ein Maßraum. Für jede Folge $(f_n)_{n\in\N}$ nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_n:\Omega\to\R\cup\{\infty\}$, die μ-fast überall monoton wachsend gegen eine messbare Funktion $f:\Omega\to\R\cup\{\infty\}$ konvergiert, gilt

$\int_\Omega f\ \mathrm d\mu = \lim_{n\to\infty} \int_\Omega f_n\ \mathrm d\mu.$

Beweisidee

Dass die rechte Seite kleinergleich der linken ist, folgt aus der Monotonie des Integrals. Zu beweisen ist also nur die andere Richtung. Dies zeigt man zuerst für einfache messbare Funktion, Treppenfunktionen, und führt dann einen Erweiterungsschluss durch.

Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung

Sei $(\Omega,\mathcal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(X_n)_{n\in\N}$ eine nichtnegative, fast sicher monoton wachsende Folge von Zufallsvariablen, dann gilt $\lim_{n\to\infty}E(X_n)=E(\lim_{n\to\infty} X_n)$.

Sei ferner $\mathcal{G}\subset\mathcal{A}$ eine $\sigma$-Algebra. Ist $\lim_{n\to\infty} X_n$ integrierbar, so gilt fast sicher $\lim_{n\to\infty}E(X_n \mid \mathcal{G})=E(\lim_{n\to\infty} X_n \mid \mathcal{G}).$

Anwendung des Satzes auf Funktionenreihen

Sei $(\Omega,\mathcal{S},\mu)$ wieder ein Maßraum. Für jede Folge $(f_n)_{n\in\N}$ nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_n:\Omega\to\R\cup\{\infty\}$ gilt

$\int_\Omega \sum_{n=1}^\infty f_n \ \mathrm d\mu =\sum_{n=1}^\infty \int_\Omega f_n \ \mathrm d\mu.$

Dies folgt durch Anwendung des Satzes auf die Folge $s_N = \sum_{n=1}^N f_n$ der Partialsummen. Da die $f_n$ nichtnegativ sind, ist $(s_N)_{N \in \N}$ monoton wachsend.

Siehe auch

• Satz von der majorisierten Konvergenz
• Lemma von Fatou

Literatur

• Elliott H. Lieb & Michael Loss: Analysis, Second Edition, ISBN 0-8218-2783-9