Schatten-Klasse

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Die Schatten-Klassen, benannt nach Robert Schatten, sind spezielle Algebren von Operatoren, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden. Sie haben viele Eigenschaften mit den Folgenräumen \ell^p gemeinsam.

Definition[Bearbeiten]

Ist T:H\rightarrow G ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen (im endlichdimensionalen bricht die Folge ab) Hilberträumen, so gibt es eine monoton fallende Folge (s_n)_n nicht-negativer reeller Zahlen mit s_n\rightarrow 0 und orthonormale Folgen (e_n)_n in H und (f_n)_n in G, so dass

  • \textstyle Tx = \sum_{n=1}^\infty s_n\langle x,e_n\rangle f_n für alle x\in H gilt und
  • die Operatoren \textstyle \sum_{n=1}^N s_n\langle\cdot, e_n\rangle f_n für N\to\infty in der Operatornorm gegen T konvergieren.

Das ist die sogenannte Schmidt-Darstellung. Die Zahlenfolge (s_n)_n ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch T bestimmt. Man schreibt daher s_n(T) für das n-te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den n-ten singulären Wert von T. Man kann zeigen, dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten und positiven Operators T^*T\in L(H) bilden.

Für 1\le p < \infty ist die p-te Schatten-Klasse kompakter Operatoren von H nach G durch

{\mathcal S}_p(H,G)\, := \,\{T:H\rightarrow G;\, T\,{\rm kompakt},\, (s_n(T))_n \in \ell^p\}

definiert. Dabei ist \ell^p der Folgenraum der zur p-ten Potenz summierbaren Folgen. Für T\in {\mathcal S}_p(H,G) definiert man die p-Norm des Operators gerade durch diese Norm auf der Folge:

\|T\|_p := (\sum_{n=1}^\infty s_n(T)^p)^{\frac{1}{p}}.

Die p-Norm des Operators ist also genau die \ell^p-Norm der zugehörigen Folge der singulären Werte des Operators.

Für den Fall G=H schreibt man abkürzend {\mathcal S}_p(H) := {\mathcal S}_p(H,H). Oftmals nennt man nur diese Räume Schatten-Klassen.

Spezialfälle[Bearbeiten]

Für p=1 entspricht der Raum {\mathcal S}_1(H,G) der Menge der Spurklasseoperatoren.

Für p=2 entspricht {\mathcal S}_2(H,G) dem Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die Schatten-Klassen haben viele Eigenschaften mit den \ell^p-Räumen gemeinsam. {\mathcal S}_p(H) ist mit der p-Norm ein Banachraum. Für p\le q gilt \|\cdot\|_p \ge \|\cdot\|_q und daher {\mathcal S}_p(H)\subset {\mathcal S}_q(H). Ferner gilt stets \|T\| \le \|T\|_p, wobei \|T\| die Operator-Norm von T ist.
  • Seien 1 < p,q < \infty mit \tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q} = 1 konjugierte Zahlen. Sind dann T\in {\mathcal S}_p(H) und S\in {\mathcal S}_q(H), so ist das Produkt TS ein Spurklasse-Operator, und es gilt Sp(TS) \le \|T\|_p\|S\|_q. Jedes S\in {\mathcal S}_q(H) definiert daher durch T\mapsto Sp(TS) ein stetiges lineares Funktional \psi_S auf {\mathcal S}_p(H). Man kann zeigen, dass die Abbildung S\mapsto \psi_S ein isometrischer Isomorphismus von {\mathcal S}_q(H) auf den Dualraum von {\mathcal S}_p(H) ist, oder kurz {\mathcal S}_p(H)\,' \cong {\mathcal S}_q(H). Man hat also auch hier ganz ähnliche Verhältnisse wie bei den Folgenräumen. Insbesondere sind die Schatten-Klassen für 1<p<\infty reflexiv, sie sind sogar gleichmäßig konvex. Wie bei den Folgenräumen ist dies für {\mathcal S}_1(H) nicht der Fall. Die Verhältnisse für {\mathcal S}_1(H) sind im Artikel Spurklasseoperator näher beschrieben.

Quellen[Bearbeiten]

  • R. Schatten: Norm Ideals of Completely Continuous Operators. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5.
  • Dunford, Schwartz: Linear Operators, Part II, Spectral Theory. ISBN 0-471-60847-5.
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8