Schema (algebraische Geometrie)

Die klassische algebraische Geometrie beschäftigt sich mit Teilmengen des affinen oder projektiven Raumes, die als Nullstellenmengen von endlich vielen Polynomen entstehen (algebraische Varietäten). Die geometrischen Objekte sind also Lösungsmengen von algebraischen Gleichungssystemen. Der Begriff Schema motiviert sich daraus, nicht nur Lösungen in einem festen algebraisch abgeschlossenen Körper zu betrachten, sondern Lösungen in beliebigen Ringen, und zwar gleichzeitig. Als Beispiel betrachten wir die Gleichung $x^2 - 2 = 0$. Sie hat über $\mathbb{Q}$ oder $\Z$ keine Lösungen, in $\R$ oder $\C$ dagegen jeweils zwei; dabei sind die Lösungen in $\C$ natürlich die Bilder der Lösungen in $\R$. Diese Daten ergeben zusammen einen Funktor (Ringe) → (Mengen), der einem Ring $R$ die Menge

$F(R) = \{r \in R \mid r^2 = 2\}$

der Lösungen oder Punkte zuordnet. Dieser Funktor ist darstellbar, d. h., es gibt einen Ring $S$, so dass

$F(R) = \operatorname{Hom}(S,R)$

gilt ($\operatorname{Hom}(S,R)$ bezeichnet dabei die Menge der Ringhomomorphismen $S \to R$; in unserem Beispiel ist $S = \Z[T]/(T^2 - 2)).$ Es stellt sich heraus, dass die Punktfunktoren zu klassischen algebraischen Varietäten genau dann darstellbar (über der Kategorie der Ringe bzw. k-Algebren) sind, wenn die Varietäten affin sind. Wenn nun der Begriff Schema eine möglichst weitreichende Verallgemeinerung des Begriffs Varietät sein soll, so ist ein affines Schema nichts anderes als ein Ring (zumindest aus kategorieller Sicht), und der allgemeine Begriff „Schema“ sollte so gefasst sein, dass alle Varietäten darstellbar in der Kategorie der Schemata sind.

Da es nicht ohne weiteres möglich ist, den Begriff des Ringes geeignet zu verallgemeinern, basiert der Begriff Schema stattdessen auf dem Spektrum eines Ringes. Die Konstruktion des Spektrums ist eine (kontravariante) treue Einbettung der Kategorie der Ringe in die Kategorie der geringten Räume, also der topologischen Räume zusammen mit einer Garbe von Ringen, und der wesentliche Teil der Definition eines Schemas besteht nur noch darin, die „richtige“ Unterkategorie zu wählen.

Definition

Ein Schema ist ein lokal geringter Raum, der lokal isomorph zum Spektrum eines Ringes ist. Ist ein Schema global isomorph zum Spektrum eines Ringes, so heißt es affin.

Ausführlicher:
Das Spektrum eines Ringes $R$ ist die Menge $X:=\operatorname{Spec}(R)$ aller Primideale in $R$, in Zeichen

$\mathrm{Spec}(R)=\{ \mathfrak p \mid \mathfrak p \subseteq R \text{ mit } \mathfrak p \text{ Primideal} \}$.

Die abgeschlossenen Mengen von $X$ sind per Definition die Mengen der Form

$V(I)=\{ \mathfrak p \mid I \subseteq \mathfrak p \subseteq R \text{ mit } \mathfrak p \text{ Primideal} \}$

für ein Ideal $I \subseteq R$. Die so definierte Topologie des Raumes $X$ wird aus historischen Gründen auch Zariski-Topologie genannt.
Die Strukturgarbe $O_X$ von $\mathrm{Spec}(R)$ ordnet per Definition jeder Zariski-offenen Menge $U \subset X$ den Ring $O_X(U)$ der rationalen Funktionen auf $U$ zu.
Ein geringter Raum ist per Definition ein Paar $(X,O_X)$ aus einem topologischen Raum $X$ und einer Garbe von Ringen auf $X$. Ein lokal geringter Raum ist ein geringter Raum $(X,O_X)$, für den die Keime von $O_X$ lokale Ringe sind, d.h. ein eindeutiges Maximalideal haben. Insbesondere ist das Spektrum eines Ringes mit seiner Strukturgarbe ein lokal geringter Raum.
Ein affines Schema ist per Definition ein lokal geringter Raum, der isomorph zum Spektrum eines Ringes ist.
Ein Schema ist ein lokal geringter Raum, der sich durch offene Mengen $U_i$ überdecken lässt, so dass für alle $i$ die Einschränkung $(U_i,O_X|_{U_i})$ ein affines Schema ist.

Begriffsvarianten

In der ursprünglichen Fassung nannte Alexander Grothendieck die oben definierten Objekte Präschemata und setzte für die Bezeichnung Schema noch Separiertheit voraus. In der zweiten Auflage des ersten Kapitels der Éléments de géométrie algébrique änderte er jedoch die Terminologie zu der heute allgemein verwendeten.

Eine Verallgemeinerung des Begriffs der Schemata wurde 2012 von Shinichi Mochizuki in seiner Arbeit über die abc-Vermutung vorgeschlagen.

Literatur

• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9, Kapitel II Schemes.

Weblinks

• David Harari: Schemes (PDF; 330 kB)