Schiefsymmetrische Matrix

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Eine schiefsymmetrische Matrix (auch antisymmetrische Matrix) ist eine Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist.

Definition[Bearbeiten]

Eine Matrix A heißt schiefsymmetrisch, wenn

A^T=-A

gilt. Anders ausgedrückt: Die Matrix A ist schiefsymmetrisch, wenn für ihre Einträge gilt:


a_{ij} = - a_{ji} \qquad\forall i,j\in\{1,\ldots,n\}

Beispiel[Bearbeiten]

Die Matrix 
A=
\begin{pmatrix}
0   & 7 & 23 \\
-7  & 0 & -4 \\
-23 & 4 & 0
\end{pmatrix}
ist schiefsymmetrisch, da 
A^T=
\begin{pmatrix}
0   & -7 & -23 \\
7  & 0 & 4 \\
23 & -4 & 0
\end{pmatrix}
=-A

Eigenschaften[Bearbeiten]

Reelle schiefsymmetrisch Matrizen[Bearbeiten]

Ist  A \in \mathbb{R}^{n\times n} schiefsymmetrisch mit reellen Einträgen, so sind alle Diagonaleinträge notwendigerweise gleich 0. Des Weiteren sind alle Eigenwerte rein imaginär oder gleich 0.

Körpercharakteristik ungleich 2[Bearbeiten]

Eigenschaften für Körper K der Charakteristik ungleich 2:

  • Die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind null.
  • Die Determinante schiefsymmetrischer Matrizen mit ungerader Dimension n ist wegen A^T=-A\, und daher
\det(A)=\det(A^T)=\det(-A)=(-1)^n\,\det(A)=-\det(A)
gleich null.
Für Matrizen gerader Dimension gilt dies im Allgemeinen nicht, wie das Gegenbeispiel

A = \begin{pmatrix}
0 & 1\\
 -1 & 0
\end{pmatrix}
zeigt. Die Matrix ist offensichtlich schiefsymmetrisch, jedoch gilt \det(A) = 1.

Vektorraum[Bearbeiten]

Die schiefsymmetrischen Matrizen bilden einen Vektorraum der Dimension \tfrac{n(n-1)}{2}. Ist der Körper K=\R, so bezeichnet man diesen Vektorraum mit \mathfrak{so}(n). Die Bezeichnung rührt daher, dass dieser Vektorraum die Lie-Algebra der Lie-Gruppe \operatorname{SO}(n) (Spezielle orthogonale Gruppe) ist.

Die orthogonale Projektion vom Raum der Matrizen in den Raum der schiefsymmetrischen Matrizen ist bezüglich des Standardskalarprodukts gerade

\begin{matrix}
\operatorname{Pr}:& \R^{n\times n}&\to& \mathfrak s\mathfrak o(n)\\
& A & \mapsto & \frac12(A-A^T)
\end{matrix}

Der orthogonale Rest ist die symmetrische Matrix

A-\operatorname{Pr}(A)=\frac12(A+A^T).

Exponentialabbildung[Bearbeiten]

Die durch das Matrixexponential definierte Abbildung

\begin{matrix}
\exp:& \mathfrak s\mathfrak o(n) & \to & \operatorname{SO}(n)\\
& A & \mapsto & \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}A^n
\end{matrix}

ist surjektiv und beschreibt gerade die Exponentialabbildung an der Einheitsmatrix I_n (siehe auch Spezielle orthogonale Gruppe).

Kreuzprodukt[Bearbeiten]

Für den Spezialfall n=3 können schiefsymmetrische Matrizen benutzt werden, um das Kreuzprodukt als Matrixmultiplikation auszudrücken. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a\in\mathbb{R}^3 und b\in\mathbb{R}^3 kann als Matrixmultiplikation der schiefsymmetrischen Kreuzproduktmatrix


[a]_{\times} = \begin{pmatrix}
    0  & -a_3 &  a_2\\
    a_3 & 0 & -a_1 \\
    -a_2 & a_1 & 0 
  \end{pmatrix}

mit dem Vektor b ausgedrückt werden:


a\times b = [a]_{\times}\cdot b.

Auf diese Weise kann eine Formel mit Kreuzprodukt differenziert werden:


\frac{\partial}{\partial b}(a\times b)=[a]_{\times}


Das Exponential der Matrix [a]_{\times} kann mittels der Rodrigues-Formel wie folgt dargestellt werden


\begin{align}
\exp(t[a]_{\times})v & = \tfrac{\langle a,v\rangle}{\|a\|^2}a
+\left(v-\frac{\langle a,v\rangle}{\|a\|^2}a\right)\cos(\|a\|\,t)
+\left(\frac1{\|a\|}a\times v\right)\sin(\|a\|\,t) \\
&= v_a + v_0\cdot\cos(\|a\|\,t)+v_1\cdot\sin(\|a\|\,t).
\end{align}

Hierbei ist

v_a:=\frac{\langle a,v\rangle}{\|a\|^2}a die orthogonale Projektion von v auf die durch a aufgespannte Gerade L_a,
v_0:=v-v_a das dazu senkrechte Lot von v auf die Achse L_a,
v_1:=\frac1{\|a\|}a\times v_0  der Vektor, der aus v_0 durch Rotation um 90° um die Achse L_a entsteht.

Insgesamt zeigt die Formel, dass durch das Exponential des Kreuzproduktes der Vektor v um die durch a definierte Achse rotiert wird, mit der Norm von a als Winkelgeschwindigkeit.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]