Schiefsymmetrische Matrix

Eine schiefsymmetrische Matrix (auch antisymmetrische Matrix) ist eine Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist.

Mathematisch:

$A^T=-A$

bzw. für die Einträge

$a_{ij} = - a_{ji} \qquad\forall i,j\in\{1,\ldots,n\}$

Eigenschaften

Körpercharakteristik ungleich 2

Eigenschaften für Körper $\mathbb{F}$ der Charakteristik ungleich 2:

1. Die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind Null
2. Die Determinante schiefsymmetrischer Matrizen mit ungerader Dimension n ist wegen $A^T=-A\,$ und daher $\det(A)=\det(A^T)=\det(-A)=(-1)^n\,\det(A)$ gleich Null.

Vektorraum

Die schiefsymmetrischen Matrizen bilden einen Vektorraum der Dimension $\tfrac{n(n-1)}{2}$. Ist der Körper $\mathbb{F}=\R$, so bezeichnet man diesen Vektorraum mit $\mathfrak{so}(n)$. Die Bezeichnung rührt daher, dass dieser Vektorraum die Lie-Algebra der Lie-Gruppe $\operatorname{SO}(n)$ (Spezielle orthogonale Gruppe) ist.

Die orthogonale Projektion vom Raum der Matrizen in den Raum der schiefsymmetrischen Matrizen ist bezüglich des kanonischen Skalarprodukts gerade

$\begin{matrix} \operatorname{Pr}:& \R^{n\times n}&\to& \mathfrak s\mathfrak o(n)\\ & A & \mapsto & \frac12(A-A^T) \end{matrix}$

Der orthogonale Rest ist die symmetrische Matrix

$A-Pr(A)=\frac12(A+A^T)$.

Exponentialabbildung

Die Abbildung

$\begin{matrix} \exp:& \mathfrak s\mathfrak o(n) & \to & \operatorname{SO}(n)\\ & A & \mapsto & \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}A^n \end{matrix}$

konvergiert, ist surjektiv und beschreibt gerade die Exponentialabbildung an der Einheitsmatrix $I_n$ (siehe auch Spezielle orthogonale Gruppe).

Kreuzprodukt

Die schiefsymmetrische Matrix kann verwendet werden, um das Kreuzprodukt als Matrixmultiplikation auszudrücken:

$a\times b = S_a b$

Dabei ist die schiefsymmetrische Matrix $S_a$ definiert als:

$S_a = \begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix}$

Auf diese Weise kann eine Formel mit Kreuzprodukt differenziert werden, etwa zur Berechnung der Fehlerfortpflanzung.

Siehe auch

• Symmetrische Matrix
• Schief- und antisymmetrische Bilinearformen

Literatur

• D. A. Suprunenko: Skew-symmetric matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).