Schilow-Rand

Der Schilow-Rand (nach Georgi Schilow, nach englischer Transkription auch Shilov-Rand ) ist ein mathematisches Konzept aus der Theorie der kommutativen $\C$-Banachalgebren. Damit wird eine Version des aus der Funktionentheorie bekannten Maximumprinzips auf kommutative Banachalgebren übertragen.

Motivation

Der Einfachheit beschränken wir uns auf kommutative Algebren mit Einselement. Es seien $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A\subset C(X)$ eine Unteralgebra der Banachalgebra $C(X)$ der stetigen Funktionen $X\rightarrow \C$ mit folgenden Eigenschaften:

• $1\in A$, das heißt $A$ enthält die konstante Funktion 1,
• $\forall x\not=y \in X: \exists a\in A: a(x) \not= a(y)$, das heißt $A$ trennt die Punkte von $X$

Man sagt dann kurz, $A$ sei eine Funktionenalgebra auf $X$.

Eine abgeschlossene Teilmenge $E\subset X$ heißt maximierend (für $A$), falls für alle Funktionen $a\in A$ Folgendes gilt: $\sup\{|a(x)|; x\in X\} = \sup\{|a(x)|; x\in E\}$.

Ist zum Beispiel $X=D:=\{z\in \C;\, |z|\le 1\}$ die Kreisscheibe und $A$ die Diskalgebra, das heißt die Algebra aller stetigen Funktionen auf $D$, die im Inneren $D^\circ$ holomorph sind, so ist wegen des Maximumprinzips der Funktionentheorie jede abgeschlossene Teilmenge, die den Rand $\partial D$ enthält, eine maximierende Menge. Insbesondere ist $\partial D$ die kleinste maximierende Menge.

Schilow-Rand für Funktionenalgebren

Das Beispiel der Diskalgebra verallgemeinert sich zu folgendem auf Schilow zurückgehenden Satz:

• Sind $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A$ eine Funktionenalgebra auf $X$, so ist der Durchschnitt aller maximierenden Mengen für $A$ nicht leer und wieder maximierend.

Insbesondere gibt es also eine kleinste maximierende Menge. Diese nennt man den Schilow-Rand der Funktionenalgebra $A$, übliche Bezeichnungen sind $S(A), \check{S}(A)$ oder $\partial A$.

Schilow-Rand für kommutative Banachalgebren

Sei $A$ eine kommutative $\C$-Banachalgebra mit Einselement. Der Gelfand-Raum $X_A$ ist bekanntlich ein kompakter Hausdorffraum und die Gelfand-Transformation $A\rightarrow C(X_A)$ bildet $A$ auf eine Funktionenalgebra $\hat{A}$ auf $X_A$ ab. Der Schilow-Rand der Funktionenalgebra $\hat{A}$ wird Schilow-Rand von $A$ genannt und ebenfalls mit $S(A), \check{S}(A)$ oder $\partial A$ bezeichnet.

Beispiele

• Der Gelfand-Raum der Diskalgebra $A$ ist die Menge der Punktauswertungen $\delta_z:A\rightarrow \C,\, a\mapsto \delta_z(a) := a(z)$ und die Abbildung $D\rightarrow X_A,\,z\mapsto \delta_z$ ist ein Homöomorphismus. Identifiziert man $D$ mittels dieses Homöomorphismus mit $X_A$, so $A=\hat{A}$ und es ist $\partial A = \partial D$.
• Sei $X:=\{(z,w)\in\C^2;\, |z|\le1, |w|\le 1\}$ der Bizylinder mit Radius $(1,1)$. $A$ sei die von allen Polynomen in zwei Variablen erzeugte Unter-Banachalgebra von $C(X)$. Man kann zeigen, dass der Gelfand-Raum von $A$ die Menge der Punktauswertungen $\delta_x:A\rightarrow \C, a\mapsto a(x)$ für $x\in X$ ist und dass $X\rightarrow X_A, x\mapsto \delta_x$ eine Homöomorphismus ist. Man kann also wie oben $X$ mit $X_A$ identifizieren. Dann kann man zeigen, dass $\partial A = \{(z,w)\in X;\, |z|=1=|w|\}$. In diesem Fall ist der Schilow-Rand kleiner als der topologische Rand von $X$ in $\C^2$.
• Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A=C(X)$, so ist $\partial A = X_A$.

Bemerkungen

Ist $A$ eine kommutative $\C$-Banachalgebra mit Einselement, so gilt für die Gelfand-Transformierte $\hat{a}:X_A\rightarrow \C$, dass $\sup\{|\hat{a}(\varphi)|;\,\varphi \in X_A\} \,=\, \sup\{|\hat{a}(\varphi)|;\,\varphi \in \partial A\}$. Das folgt direkt aus den Definitionen, den $\partial A$ ist eine maximierende Menge der Funktionenalgebra $\hat{A}$. Die Gelfand-Transformierten erfüllen damit ein Maximumprinzip bzgl. des Schilow-Randes.

Bekanntlich gilt für das Spektrum $\sigma(a)$ von $a\in A$ die Formel $\sigma(a)=\hat{a}(X_A)$. Bezüglich der Ränder der Spektren gilt die Formel $\partial \sigma(a) \subset \hat{a}(\partial A)$.

Literatur

• F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862