Schnittgerade

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Schnittgerade (rot) zweier Ebenen (grün und blau)

Als Schnittgerade bezeichnet man in der Geometrie eine Gerade, in der sich zwei nicht parallele Ebenen im dreidimensionalen euklidischen Raum schneiden. Eine Gerade im Raum wird üblicherweise durch eine Gleichung in Parameterform beschrieben. Der Weg zu der Geradengleichung der Schnittgerade zweier Ebenen hängt von der Beschreibung der beiden zu schneidenden Ebenen ab. Da es hierfür zwei Standard-Beschreibungen (Normalenform und Parameterform) gibt, gibt es drei Möglichkeiten, die Geradengleichung der Schnittgerade zu bestimmen.

Ist eine der zu schneidenden Ebenen eine Koordinatenebene, so nennt man die Schnittgerade Spurgerade. Besitzen mehrere Ebenen eine gemeinsame Schnittgerade, so spricht man von einem Ebenenbüschel.

Schnitt einer Ebene in Normalenform mit einer Ebene in Parameterform[Bearbeiten]

Berechnung[Bearbeiten]

Gegeben seien eine Ebene in Normalenform,

\varepsilon_1 \colon \vec n \cdot \vec x = d,

und eine Ebene in Parameterform,

\varepsilon_2 \colon \vec x = \vec p + r \vec u +s \vec v.

Damit die Ebenen nicht parallel sind, muss \vec n \cdot \vec u \ne 0 oder \vec n \cdot \vec v \ne 0 sein, denn andernfalls wäre \vec n auch ein Normalenvektor von \varepsilon_2. Gesucht ist nun eine Parameterdarstellung der Schnittgerade

g \colon \vec x = \vec q + t \vec w.

Einsetzen der Parameterform in die Normalenform führt zu

\vec n \cdot \vec p + r \, \vec n \cdot \vec u + s \, \vec n \cdot \vec v = d.

Ist \vec n\cdot \vec u \ne 0, dann ergibt ein Auflösen der Gleichung nach dem Parameter s und nachfolgendes Einsetzen in die Parameterform

g \colon \vec x = \left( \vec p + \frac{d - \vec n \cdot \vec p}{\vec n \cdot \vec u} \vec u \right) + t \left( \vec v - \frac{\vec n \cdot \vec v}{\vec n \cdot \vec u} \vec u \right).

Ist \vec n \cdot \vec u = 0, werden die Rollen von \vec u und \vec v vertauscht.

Beispiel[Bearbeiten]

Die beiden Ebenen seien durch

\varepsilon_1 \colon (1,2,1)^T \cdot \vec x = 1

und

\varepsilon_2 \colon \vec x = (1,1,1)^T + r (2,1,-3)^T + s(-1,1,0)^T

gegeben. Für die Schnittgerade ergibt sich dann die Parameterdarstellung

g \colon \vec x = (-5,-2,10)^T + t (-3,0,3)^T.

Schnitt zweier Ebenen in Parameterform[Bearbeiten]

Berechnung[Bearbeiten]

Falls beide Ebenengleichungen in Parameterform vorliegen, berechnet man zunächst für eine der beiden Ebenen die Normalenform und wendet dann das Verfahren aus dem vorigen Abschnitt an. Für eine Ebene mit den Stützvektor \vec p und den Richtungsvektoren \vec u und \vec v erhält man durch das Kreuzprodukt

\vec n = \vec u \times \vec v

einen Normalenvektor und die Ebenengleichung ist dann

\varepsilon \colon \vec n \cdot \vec x = \vec n \cdot \vec p.

Um die Parallelität zweier Ebenen in Parameterform zu untersuchen, bestimmt man zunächst mit Hilfe des Kreuzproduktes für eine der Ebenen einen Normalenvektor. Sind die Skalarprodukte dieses Normalenvektors mit den Richtungsvektoren der anderen Ebene jeweils gleich null, so sind die beiden Ebenen parallel.

Beispiel[Bearbeiten]

Die beiden Ebenen seien durch

\varepsilon_1 \colon \vec x = (1,-1,1)^T + r_1 (2,1,-1)^T + s_1(-1,1,0)^T

und

\varepsilon_2 \colon \vec x = (1,1,1)^T + r_2 (2,2,-1)^T + s_2(1,0,1)^T

gegeben. Als Normalenvektor für \varepsilon_1 ergibt sich

\vec n = (2,1,-1)^T \times (-1,1,0)^T = (1,1,3)^T

und damit die Normalenform

\varepsilon_1 \colon \vec x= (1,1,3)^T \cdot \vec x = 3.

Für die Schnittgerade erhält man dann die Parameterdarstellung

g \colon \vec x= (-3,-3,-1)^T + t (-7,-8,5)^T.

Schnitt zweier Ebenen in Normalenform[Bearbeiten]

Berechnung[Bearbeiten]

Gegeben seien nun zwei Ebenen

\varepsilon_1 \colon \vec n_1 \cdot \vec x = d_1

und

\varepsilon_2 \colon \vec n_2 \cdot \vec x = d_2

Damit die Ebenen nicht parallel sind, müssen die beiden Normalenvektoren \vec n_1, \vec n_2 linear unabhängig sein, das heißt \vec n_1 darf nicht Vielfaches von \vec n_2 sein. Gesucht ist wieder eine Parameterdarstellung der Schnittgerade

g \colon \vec x = \vec q + t \vec w.

Der Richtungsvektor der Schnittgerade ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Normalenvektoren:

\vec w = \vec n_1 \times \vec n_2.

Einen Stützvektor \vec p der Schnittgerade erhält man, indem man die Ebenen \varepsilon_1 und \varepsilon_2 mit der zu ihnen senkrechten Ebene

\varepsilon_3 \colon \vec x = s_1 \vec n_1 + s_2 \vec n_2

schneidet. Die Parameter s_1 und s_2 findet man durch Einsetzen in die Gleichungen der Ebenen \varepsilon_1 und \varepsilon_2 und erhält so

\vec q = \frac{ d_1 \vec n_2^2 - d_2(\vec n_1 \cdot \vec n_2)}{\vec n_1^2 \vec n_2^2 - (\vec n_1 \cdot \vec n_2)^2} \vec n_1 + \frac{ d_2 \vec n_1^2 - d_1(\vec n_1 \cdot \vec n_2)}{\vec n_1^2 \vec n_2^2 - (\vec n_1 \cdot \vec n_2)^2} \vec n_2.

Beispiel[Bearbeiten]

Die beiden Ebenen seien durch

\varepsilon_1 \colon (1,2,1)^T \cdot \vec x =1

und

\varepsilon_2 \colon (2,-3,2)^T \cdot \vec x =2

gegeben. Hieraus ergibt sich der Richtungsvektor der Schnittgerade als

\vec w = \vec n_1 \times \vec n_2 = (7,0,-7)^T.

Für den Stützvektor \vec p folgt aus \vec n_1^2=6, \vec n_2^2=17, \vec n_1\cdot \vec n_2=-2 und aus obiger Formel

\vec q = \tfrac{1}{2}(1,0,1)^T.

Also ist

g \colon \vec x=\tfrac{1}{2}(1,0,1)^T + t (7,0,-7)^T

eine Parameterdarstellung der Schnittgerade beider Ebenen.

Anmerkung[Bearbeiten]

Die obige Formel liefert zwar eine Parameterdarstellung der Schnittgerade ohne jegliche Fallunterscheidungen, sie ist allerdings rechenaufwändig. Bei konkret vorgegebenen Ebenengleichungen kann es besser sein, den Gauß-Algorithmus zur Bestimmung einer Parameterdarstellung der Schnittgerade zu verwenden. Für obiges Beispiel ist das lineare Gleichungssystem

x+2y+z=1
2x-3y+2z=2

zu lösen. 2-mal die erste Gleichung minus 1-mal die zweite Gleichung ergibt das Gleichungssystem in Zeilenstufenform:

\begin{array}{rrrcl}
x&+2y&+z&=&1 \\
&-7y& &=&0
\end{array}

Die Unbekannte z kann frei gewählt werden: z=t. Nachdem y=0 ist liefert ein Einsetzen in die erste Gleichung x=1-t. Damit erhält man die (etwas andere) Parameterdarstellung der Schnittgerade:

\vec x=(1,0,0)^T + t (-1,0,1)^T.

Siehe auch[Bearbeiten]