Schulze-Methode

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Schulze-Methode (nach Markus Schulze) ist ein Wahlverfahren aus der Familie der Vorzugswahlen, mit dem ein einzelner Sieger bestimmt wird. Es ist die derzeit verbreitetste Methode, um Wahlen durchzuführen, bei welchen der Wähler Kandidaten nach Rang ordnet.

Die Schulze-Methode ist eine Condorcet-Methode, d. h. dass sie einen Kandidaten, der im paarweisen Vergleich jeden anderen Kandidaten besiegen würde, als Sieger auswählt, sofern ein solcher existiert.

Markus Schulze hat die Methode 1997 entwickelt. Die ersten Veröffentlichungen datieren von 2003 und 2006 [1][2][3]. Verwendet wurde die Schulze-Methode erstmals 2003 (von Software in the Public Interest), 2003 (von Debian) und 2005 (von Gentoo Linux).

Erklärung[Bearbeiten]

Jeder Wähler erhält eine komplette Liste aller Kandidaten. Er reiht die Kandidaten, indem er Zahlen an die Kandidaten schreibt. Eine kleine Zahl ist besser als eine größere, jedoch zählt nur die Reihenfolge. Kandidaten mit gleicher Zahl sind an gleicher Stelle gereiht. Kandidaten ohne Zahl sind gemeinsam an letzter Stelle – so als ob der Wähler ihnen jeweils die größtmögliche Zahl zugeschrieben hätte.

Anzahl der Wähler[Bearbeiten]

Die Anzahl der Wähler, die den Kandidaten A dem Kandidaten B vorziehen (d. h. die bei A eine kleinere Zahl als bei B vermerkt haben), wird durch d[A,B] ausgedrückt.

Der Wert von d wird aus den Stimmabgaben gezählt

  • d[B,A] ist die Anzahl, wie viele Wähler Kandidaten B gegenüber A besser finden.
  • d[A,B] ist die Anzahl, wie viele Wähler Kandidaten A gegenüber B besser finden.

Für diese Werte ist es unerheblich, ob noch andere Kandidaten existieren, ob diese besser, dazwischen oder schlechter als A und B eingestuft werden.

Definition[Bearbeiten]

Die Schulze-Methode ist folgendermaßen definiert:

Ein Weg (path) vom Kandidaten X zum Kandidaten Y der Stärke z ist eine Sequenz von Kandidaten C(1),…,C(n) mit den folgenden Eigenschaften:
  1. C(1) = X, d. h. der Weg beginnt bei X.
  2. C(n) = Y, d. h. der Weg endet bei Y.
  3. \forall i = 1,\dots,(n-1): d[C(i),C(i+1)] > d[C(i+1),C(i)], d. h. jeder Kandidat auf dem Weg gewinnt den paarweisen Vergleich gegen den auf ihn folgenden Kandidaten.
  4. \forall i = 1,\dots,(n-1): d[C(i),C(i+1)] \geq z, d. h. jeder Kandidat auf dem Weg wird gegenüber dem auf ihn folgenden Kandidaten von mindestens z Wählern bevorzugt.
  5. \exists  i = 1,\dots,(n-1): d[C(i),C(i+1)] = z, d. h. wenigstens einer dieser Vergleiche wird von (nur) genau z Wählern gestützt.
Hat ein Weg C(1),…,C(n) die Stärke z, so werden die Bögen dieses Weges, für die d[C(i),C(i+1)] = z gilt, „kritische Siege“ genannt. Bei ihnen handelt es sich um die schwächsten Siege auf dem Weg.
p[A,B], die Stärke des stärksten Weges vom Kandidaten A zum Kandidaten B, ist der größte Wert, so dass es einen Weg dieser Stärke vom Kandidaten A zum Kandidaten B gibt. p[A,B] : = 0, falls es keinen Weg vom Kandidaten A zum Kandidaten B gibt.
Kandidat D ist besser als Kandidat E, genau dann wenn p[D,E] > p[E,D] ist.
Kandidat D ist ein potentieller Sieger, genau dann wenn p[D,E] ≥ p[E,D] ist für jeden anderen Kandidaten E.

Es lässt sich zeigen, dass die „besser“-Relation transitiv ist. Es existiert somit stets mindestens ein potentieller Sieger.

Beispiel 1[Bearbeiten]

Beispiel (45 Wähler; 5 Kandidaten):

Ränge
#Wähler 1. 2. 3. 4. 5.
5 A > C > B > E > D
5 A > D > E > C > B
8 B > E > D > A > C
3 C > A > B > E > D
7 C > A > E > B > D
2 C > B > A > D > E
7 D > C > E > B > A
8 E > B > A > D > C

Paarweise Matrix[Bearbeiten]

Tabelle, die jeden Kandidaten mit jedem anderen vergleicht. Die rot markierten Felder werden weiter benutzt. Z. B. wurde Kandidat B von 25 Stimmen gegenüber Kandidat A bevorzugt.

d[*,A] d[*,B] d[*,C] d[*,D] d[*,E]
d[A,*] 20 26 30 22
d[B,*] 25 16 33 18
d[C,*] 19 29 17 24
d[D,*] 15 12 28 14
d[E,*] 23 27 21 31

Paarweiser Graph[Bearbeiten]

Graph mit gewichteten Pfeilen aus der Tabelle von oben. Man sieht den Pfeil von Kandidat B zu Kandidat A mit dem Gewicht aus der obigen Tabelle, 25.

Paarweiser Graph

Die stärksten Wege[Bearbeiten]

Von den Verbindungen zwischen Kandidaten wird diejenige gesucht, wo das schwächste Glied am stärksten ist. Bildlich gesprochen wird die stärkste Kette gesucht. Wie kommt man von A nach B?

  • von A nach C nach B, das schwächste Glied ist von A nach C mit 26.
  • von A nach D nach C nach B, das schwächste Glied ist D nach C mit 28. Diese Kette ist stärker und die 28 werden weiterverwendet.

Man kann sich den Vorgang beispielsweise aus Sicht eines Transportunternehmens vorstellen, das möglichst viele Pakete auf einmal von einer Stadt in die andere transportieren möchte (egal wie lang der Weg ist). Ohne Zwischenlager kann natürlich nur soviel transportiert werden, wie das Fassungsvermögen des kleinsten Transportmittels, das am Weg verwendet wird: Wenn die Pakete zuerst per Fähre, dann per LKW und zuletzt per Zug transportiert werden, dann ist wahrscheinlich der LKW am kleinsten. Im Vergleich zu einer anderen Route (die z. B. einen PKW enthält) ist der LKW damit das schwächste Glied der stärksten Kette.

Oft wird dieses schwächste Glied der stärksten Kette auch „kritischer Sieg“ genannt. Sie sind hier unterstrichen.

… nach A … nach B … nach C … nach D … nach E
von A …
A-(30)-D-(28)-C-(29)-B
A-(30)-D-(28)-C-(29)-B
A-(30)-D-(28)-C
A-(30)-D-(28)-C
A-(30)-D
A-(30)-D
A-(30)-D-(28)-C-(24)-E
A-(30)-D-(28)-C-(24)-E
von B …
B-(25)-A
B-(25)-A
B-(33)-D-(28)-C
B-(33)-D-(28)-C
B-(33)-D
B-(33)-D
B-(33)-D-(28)-C-(24)-E
B-(33)-D-(28)-C-(24)-E
von C …
C-(29)-B-(25)-A
C-(29)-B-(25)-A
C-(29)-B
C-(29)-B
C-(29)-B-(33)-D
C-(29)-B-(33)-D
C-(24)-E
C-(24)-E
von D …
D-(28)-C-(29)-B-(25)-A
D-(28)-C-(29)-B-(25)-A
D-(28)-C-(29)-B
D-(28)-C-(29)-B
D-(28)-C
D-(28)-C
D-(28)-C-(24)-E
D-(28)-C-(24)-E
von E …
E-(31)-D-(28)-C-(29)-B-(25)-A
E-(31)-D-(28)-C-(29)-B-(25)-A
E-(31)-D-(28)-C-(29)-B
E-(31)-D-(28)-C-(29)-B
E-(31)-D-(28)-C
E-(31)-D-(28)-C
E-(31)-D
E-(31)-D

Die Stärken der stärksten Wege[Bearbeiten]

Das schwächste Glied der stärksten Verbindung wie oben gefunden, wird in eine Tabelle eingetragen. Dann wird wieder paarweise verglichen, wer wen schlägt, in der Tabelle unten wieder rot markiert.

p[*,A] p[*,B] p[*,C] p[*,D] p[*,E]
p[A,*] 28 28 30 24
p[B,*] 25 28 33 24
p[C,*] 25 29 29 24
p[D,*] 25 28 28 24
p[E,*] 25 28 28 31

Ergebnis[Bearbeiten]

Sieger nach der Schulze-Methode ist Kandidat E, da p[E,X] ≥ p[X,E] ist für jeden anderen Kandidaten X.

  • Wegen 25 = p[E,A] > p[A,E] = 24 ist Kandidat E besser als Kandidat A.
  • Wegen 28 = p[E,B] > p[B,E] = 24 ist Kandidat E besser als Kandidat B.
  • Wegen 28 = p[E,C] > p[C,E] = 24 ist Kandidat E besser als Kandidat C.
  • Wegen 31 = p[E,D] > p[D,E] = 24 ist Kandidat E besser als Kandidat D.
  • Wegen 28 = p[A,B] > p[B,A] = 25 ist Kandidat A besser als Kandidat B.
  • Wegen 28 = p[A,C] > p[C,A] = 25 ist Kandidat A besser als Kandidat C.
  • Wegen 30 = p[A,D] > p[D,A] = 25 ist Kandidat A besser als Kandidat D.
  • Wegen 29 = p[C,B] > p[B,C] = 28 ist Kandidat C besser als Kandidat B.
  • Wegen 29 = p[C,D] > p[D,C] = 28 ist Kandidat C besser als Kandidat D.
  • Wegen 33 = p[B,D] > p[D,B] = 28 ist Kandidat B besser als Kandidat D.

Das Schulze-Ranking ist somit E > A > C > B > D.

Beispiel 2[Bearbeiten]

Beispiel (9 Wähler; 4 Kandidaten):

Ränge
#Wähler 1. 2. 3. 4.
3 A > B > C > D
2 D > A > B > C
2 D > B > C > A
2 C > B > D > A

Paarweise Matrix[Bearbeiten]

d[*,A] d[*,B] d[*,C] d[*,D]
d[A,*] 5 5 3
d[B,*] 4 7 5
d[C,*] 4 2 5
d[D,*] 6 4 4

Paarweiser Graph[Bearbeiten]

Schulze method example4.svg

Die stärksten Wege[Bearbeiten]

Die kritischen Siege der stärksten Wege sind unterstrichen.

... nach A ... nach B ... nach C ... nach D
von A ...
Schulze method example4 AB.svg
A-(5)-B
Schulze method example4 AC.svg
A-(5)-C
Schulze method example4 AD.svg
A-(5)-B-(5)-D
von B ...
Schulze method example4 BA.svg
B-(5)-D-(6)-A
Schulze method example4 BC.svg
B-(7)-C
Schulze method example4 BD.svg
B-(5)-D
von C ...
Schulze method example4 CA.svg
C-(5)-D-(6)-A
Schulze method example4 CB.svg
C-(5)-D-(6)-A-(5)-B
Schulze method example4 CD.svg
C-(5)-D
von D ...
Schulze method example4 DA.svg
D-(6)-A
Schulze method example4 DB.svg
D-(6)-A-(5)-B
Schulze method example4 DC.svg
D-(6)-A-(5)-C

Die Stärken der stärksten Wege[Bearbeiten]

p[*,A] p[*,B] p[*,C] p[*,D]
p[A,*] 5 5 5
p[B,*] 5 7 5
p[C,*] 5 5 5
p[D,*] 6 5 5

Ergebnis[Bearbeiten]

Potentielle Sieger nach der Schulze-Methode sind somit Kandidat B und Kandidat D, da (1) p[B,X] ≥ p[X,B] ist für jeden anderen Kandidaten X und (2) p[D,Y] ≥ p[Y,D] ist für jeden anderen Kandidaten Y.

Wegen 7 = p[B,C] > p[C,B] = 5 ist Kandidat B besser als Kandidat C.

Wegen 6 = p[D,A] > p[A,D] = 5 ist Kandidat D besser als Kandidat A.

Mögliche Schulze-Rankings sind somit B > C > D > A, B > D > A > C, B > D > C > A, D > A > B > C, D > B > A > C und D > B > C > A.

Implementierung[Bearbeiten]

Sei C die Anzahl der Kandidaten. Dann lassen sich die Stärken der stärksten Wege mit Hilfe des Algorithmus von Floyd und Warshall berechnen.

Input: d[i,j] ist die Anzahl der Wähler, die den Kandidaten i dem Kandidaten j strikt vorziehen.

Output: p[i,j] ist die Stärke des stärksten Weges vom Kandidaten i zum Kandidaten j.

Beispiel einer Implementierung in Pascal[Bearbeiten]

for i := 1 to C do
begin
   for j := 1 to C do
   begin
      if ( i <> j ) then
      begin
         if ( d[i,j] > d[j,i] ) then
         begin
            p[i,j] := d[i,j]
         end
         else
         begin
            p[i,j] := 0
         end
      end
   end
end
 
for i := 1 to C do
begin
   for j := 1 to C do
   begin
      if ( i <> j ) then
      begin
         for k := 1 to C do
         begin
            if ( i <> k ) then
            begin
               if ( j <> k ) then
               begin
                  p[j,k] := max ( p[j,k], min ( p[j,i], p[i,k] ) )
               end
            end
         end
      end
   end
end

Heuristiken und Eigenschaften[Bearbeiten]

Spezielle Heuristiken der Schulze-Methode sind auch bekannt unter den Namen Beatpath, Beatpaths, Beatpath Method, Beatpath Winner, Path Voting, Path Winner, Schwartz Sequential Dropping (SSD) und Cloneproof Schwartz Sequential Dropping (CSSD).

Die Schulze-Methode erfüllt die folgenden Kriterien[4][5] (Zur Erläuterung der wichtigsten Kriterien siehe Abschnitt Qualitätskriterien im Artikel Sozialwahltheorie.):

  1. Majority criterion
  2. Mutual majority criterion
  3. Monotonicity criterion (auch bezeichnet als non-negative responsiveness, mono-raise)
  4. Pareto criterion
  5. Condorcet-Kriterium
  6. Condorcet-Verlierer-Kriterium
  7. Smith criterion (auch bezeichnet als Generalized Condorcet criterion)
  8. Local independence from irrelevant alternatives
  9. Schwartz-Kriterium
  10. Strategy-Free criterion
  11. Generalized Strategy-Free criterion
  12. Strong Defensive Strategy criterion
  13. Weak Defensive Strategy criterion
  14. Summability criterion
  15. Independence of clones
  16. nicht-diktatorisch
  17. Universalität
  18. Woodall's plurality criterion
  19. Woodall's CDTT criterion
  20. Minimal Defense criterion
  21. Resolvability
  22. Reversal symmetry
  23. mono-append
  24. mono-add-plump

Die Schulze-Methode verletzt

  1. das Konsistenzkriterium,
  2. das Partizipationskriterium,
  3. die Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen
  4. sowie das Favorite betrayal-Kriterium.

Anwendungen[Bearbeiten]

Muster für die elektronischen Stimmzettel für die Wahlen zum Kuratorium der Wikimedia Foundation

Die Schulze-Methode wird derzeit nicht in staatlichen Wahlen angewandt. Sie findet jedoch mehr und mehr Anwendung in Privatorganisationen. Sie ist u.a. in folgenden Organisationen benutzt worden:

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Condorect sub-cycle rule, Election Methods Mailing Liste, 3. Oktober 1997
  2. Markus Schulze, A new monotonic and clone-independent single-winner election method (PDF; 75 kB), Voting Matters, issue 17, pages 9–19, 2003
  3. Nicolaus Tideman, „Collective Decisions and Voting: The Potential for Public Choice“, Ashgate Publishing, 2006, und Saul Stahl, Paul E. Johnson, „Understanding Modern Mathematics“, Jones & Bartlett Publishing, 2006
  4. A new monotonic, clone-independent, reversal symmetric, and Condorcet-consistent single-winner election method, Markus Schulze, Juli 2007 (PDF, englisch; 577 kB)
  5. Properties of Preferential Election Rules, D. R. Woodall, Dezember 1994 (englisch)
  6. Board election to use preference voting, Mai 2008
  7. vgl. § 14 Abs. 3 der Satzung der Alternative für Deutschland vom 14. April 2013
  8. Pressererklärung der Piratenpartei Deutschland, August 2010
  9. Probewahl der schwedischen Piraten, Januar 2010
  10. https://wiki.piratenpartei.at/wiki/BGV2013-01/Protokoll/Wahlergebnisse
  11. Prise de décision, Dezember 2005
  12. Verfassung für das Debian-Projekt, Anhang A6
  13. Ubuntu IRC Council Position, Mai 2012
  14. Process for adding new board members, Januar 2003
  15. Council Election Procedures
  16. § 6 Absatz 3 der Satzung (PDF; 112 kB)
  17. Artikel 3.4.1 der Rules of Procedures for Online Voting
  18. Kingman adopts Condorcet voting, April 2005
  19. GnuPG Logo Vote, November 2006
  20. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Datum nicht im ISO-FormatGeschäftsordnung des Studierendenrats der Albert-Ludwigs-Universität Freiburg. In: u-asta.uni-freiburg.de. 13. Mai 2014, abgerufen am 24. Juni 2014 (FDP, 53 kB).

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Schulze method – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien