Schwartz-Raum

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Dieser Artikel behandelt den Funktionenraum der schnell fallenden Funktionen; für die lokalkonvexe Klasse der Schwartz-Räume siehe Schwartz-Raum (allgemein).
Graph der zweidimensionalen Gauß'schen Glockenkurve

Der Schwartz-Raum ist ein Funktionenraum, der im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht wird. Benannt ist dieser nach dem Mathematiker Laurent Schwartz, der zentrale Ergebnisse in der Distributionentheorie lieferte, wobei auch der Schwartz-Raum eine wichtige Rolle spielte. Die Elemente des Schwartz-Raums werden Schwartz-Funktionen genannt. Eine Besonderheit dieses Raumes ist, dass die Fouriertransformation einen linearen Automorphismus auf diesem Raum bildet.

Definition[Bearbeiten]

Eine Funktion f: \R^n \rightarrow \C heißt Schwartzfunktion oder schnell-fallend, wenn sie beliebig oft stetig differenzierbar ist, und wenn für alle Multiindizes \alpha , \beta \in \N^n_0 die Funktion x^\alpha D^\beta f(x) auf \R^n beschränkt ist.

Der Vektorraum aller Schwartzfunktionen heißt Schwartz-Raum und wird mit \mathcal{S}(\R^n) bezeichnet. In aller Kürze gilt also

\begin{align}
\mathcal{S}(\R^n) \;
&\overset{}{:=}\; \left\{ \phi \in C^\infty(\R^n) \,\Big|\, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{N}_0^n: \; \sup_{x\in\R^n} |x^\alpha D^\beta \phi(x) |  <\infty\; \right\} \\[.4em]
&= \left\{ \phi \in C^\infty(\R^n) \,\Big|\, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{N}_0^n,\, \exists C\ge0,\,\forall x\in\R^n: \;  |x^\alpha D^\beta \phi(x) |  \le C\; \right\} \,.\end{align}

Der Schwartz-Raum ist ein metrisierbarer lokalkonvexer Raum, welcher durch die Familie von Halbnormen

 \|f\|_N = \sup_{x \in \R^n} \max_{|\alpha|,\, |\beta| < N} |x^\alpha D^\beta f(x)|

induziert wird.

Beispiele[Bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Temperierte Distributionen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Temperierte Distribution

Eine stetige, lineare Abbildung f:\mathcal{S}(\R^n) \rightarrow \C heißt temperierte Distribution. Die Menge aller temperierten Distributionen wird mit \mathcal{S}'(\R^n) bezeichnet. Dies ist der topologische Dualraum zu \mathcal{S}(\R^n).

Literatur[Bearbeiten]

  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b  Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 10–11.