Schwarz-Christoffel-Transformation

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Die Schwarz-Christoffel-Transformation (Abk. SCT) ist eine mathematische Abbildungsvorschrift, welche es erlaubt, ein standardisiertes mathematisches Gebiet winkelgenau auf ein beliebiges Vieleck abzubilden. Im Spezialfall lassen sich so auch Kreise (kontinuierlicher, bekannter Knickwinkel) abbilden.

Damit können mechanische und elektrische Berechnungen an kompliziert begrenzten Körpern und Flächen einfacher durchgeführt werden, weil die Verhältnisse in den Ursprungskörpern bekannt und leicht darstellbar sind. Die Transformation geht zurück auf die beiden deutschen Mathematiker Hermann Amandus Schwarz und Elwin Bruno Christoffel.

Formel[Bearbeiten]

Die Funktion


f(z) = K_1 \int \frac{dz}{(z-a_1)^{\alpha_1/\pi}(z-a_2)^{\alpha_2/\pi}\cdots} +K_2

bildet die reelle Achse \Im(z)=0 auf einen Linienzug ab, der bei jedem der Punkte a_j\in\mathbb{R} einen Knick um den Winkel \alpha_j\in [-\pi,\pi] macht. Gilt \alpha_1+\alpha_2 + \cdots = 2\pi, so begrenzt der Linienzug ein Polygon und f bildet die obere Halbebene konform auf dessen Inneres ab.

Grafische Interpretation[Bearbeiten]

Beispiel einer Ebenentransformation mittels der SCT


Die beiden gewählten Knickpunkte auf der X-Achse werden auf die Eckpunkte des Ausgangsraumes abgebildet. Damit wird die obere Halbebene mit bekanntem Potenzialverlauf in die zu analysierende geknickte Struktur überführt. Die Wahl der Punkte ist dabei nicht grundsätzlich erheblich, sie beeinflusst lediglich die Darstellung der Transformation. Durch Bildung der Umkehrtransformation und Lösung können die komplizierten Verläufe des elektrischen Potenzials direkt dargestellt werden.

Weblinks[Bearbeiten]