Schwarzsches Lemma

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Das schwarzsche Lemma (nach Hermann Schwarz) ist eine Aussage der Funktionentheorie über holomorphe Endomorphismen der Einheitskreisscheibe, welche einen Fixpunkt aufweisen.

Aussage[Bearbeiten]

Es bezeichne \mathbb{D} := \left\{z \in \mathbb{C} \,:\, |z| < 1 \right\} die Einheitskreisscheibe. Sei f : \mathbb{D} \to \mathbb{D} eine holomorphe Funktion mit f(0) = 0. Dann gilt bereits |f(z)| \leq |z| für alle z \in \mathbb{D} und |f'(0)|\leq 1. Falls in einem Punkt z_0 \in \mathbb{D}, z_0 \neq 0, die Gleichheit |f(z_0)| = |z_0| besteht oder |f'\!\,(0)| = 1 gilt, so ist f schon eine Drehung, d.h. f(z) = e^{i \lambda} \cdot z für ein passendes \lambda \in \mathbb{R}.

Beweis[Bearbeiten]

Sei  f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n die Taylorentwicklung von  f um den Punkt  z = 0 . Wegen  f(0) = 0 ist  a_0 = 0 , so dass die Funktion

 g(z) := \begin{cases} \frac{f(z)}{z} \, \, \, \text{falls} \, z \not= 0 \\ f'(0) \, \, \, \text{sonst} \end{cases}

auf  \mathbb{D} holomorph ist und die Taylorentwicklung  g(z) = \sum_{n=1}^\infty a_{n}z^{n-1} um den Nullpunkt hat. Nach dem Maximumprinzip nimmt die Funktion  g auf dem Kreis  K_r := \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| \leq r\} ,  r \in (0,1) , ihr Maximum auf dem Rand  \partial K_r = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = r\} an. Dort gilt aber:

 |g(z)| = \left|\frac{f(z)}{z} \right| = \frac{|f(z)|}{r} \leq \frac{1}{r},

so dass |g(z)| auf ganz  K_r  durch  \frac{1}{r} beschränkt ist. Lassen wir  r gegen 1 gehen, so folgt  |g(z)| \leq 1 und somit |f(z)| \leq |z| für alle  z \in \mathbb{D} . Weiterhin  |f'(0)| = |g(0)| \leq 1 .

Anwendungen[Bearbeiten]

Hieraus kann man die Automorphismengruppe der oberen Halbebene \mathbb{H} bestimmen und erhält \mathrm{Aut}(\mathbb{H}) \cong PSL(2, \mathbb{R}).

Verschärfung[Bearbeiten]

Das schwarzsche Lemma besagt unter anderem, dass für eine holomorphe Funktion f : \mathbb{D} \to \mathbb{D} mit f(0) = 0 in der Potenzreihenentwicklung f(z) = \sum_{j=1}^\infty a_j z^j die Bedingung |a_1| \leq 1 gilt. Ludwig Bieberbach zeigte, dass für injektive Funktionen auch |a_2| \leq 2 gilt, und stellte die später nach ihm benannte bieberbachsche Vermutung auf, dass |a_j| \leq j \; \forall j \in \mathbb{N}\; . Diese Vermutung wurde 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg Verlag, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6