Schwarzsches Lemma

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Dieser Artikel ist über ein Lemma der komplexen Analysis. Es sollte nicht mit dem Satz von Schwarz verwechselt werden.

Das schwarzsche Lemma (nach Hermann Amandus Schwarz) ist ein Satz der Funktionentheorie über holomorphe Selbstabbildungen der Einheitskreisscheibe, welche den Nullpunkt festlassen.

Aussage[Bearbeiten]

Es bezeichne \mathbb{D} := \left\{z \in \mathbb{C} \,:\, |z| < 1 \right\} die offene Einheitskreisscheibe. Sei f \colon \mathbb{D} \to \mathbb{D} eine holomorphe Funktion mit f(0) = 0. Dann gilt |f(z)| \leq |z| für alle z \in \mathbb{D} und |f'(0)|\leq 1. Falls in einem Punkt z_0 \in \mathbb{D}, z_0 \neq 0, zusätzlich die Gleichheit |f(z_0)| = |z_0| besteht oder |f'(0)| = 1 gilt, so ist f eine Drehung, d. h. f(z) = e^{i \lambda} \cdot z für ein geeignetes \lambda \in \mathbb{R}.

Beweis[Bearbeiten]

Sei  f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n die Taylorentwicklung von  f um den Punkt  z = 0 . Wegen  f(0) = 0 ist  a_0 = 0 , so dass die Funktion

 g(z) := \begin{cases} \frac{f(z)}{z}, & \text{falls } z \not= 0, \\ f'(0), &\text{sonst} \end{cases}

auf  \mathbb{D} holomorph ist und die Taylorentwicklung  g(z) = \sum_{n=1}^\infty a_{n}z^{n-1} um den Nullpunkt hat. Nach dem Maximumprinzip nimmt die Funktion  g auf dem Kreis  K_r := \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| \leq r\} ,  r \in (0,1) , ihr Maximum auf dem Rand  \partial K_r = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = r\} an. Dort gilt aber:

 |g(z)| = \left|\frac{f(z)}{z} \right| = \frac{|f(z)|}{r} \leq \frac{1}{r},

so dass |g(z)| auf ganz  K_r  durch  \frac{1}{r} beschränkt ist. Da 0< r <1 beliebig ist, so folgt durch Grenzübergang  r\to 1 schon  |g(z)| \leq 1 und somit |f(z)| \leq |z| für alle  z \in \mathbb{D} . Weiterhin ist  |f'(0)| = |g(0)| \leq 1 .

Falls zusätzlich ein z_0 \in \mathbb{D} mit |f(z_0)| = |z_0| existiert oder |f'(0)| = 1 gilt, dann gibt es ein z_0 \in \mathbb{D} mit |g(z_0)| = 1. Mit dem Maximumprinzip folgt, dass g konstant ist, also g(z) = c für ein c mit |c|=1. Es gilt also f(z) = c \cdot z.

Anwendungen[Bearbeiten]

Hieraus kann man die Automorphismengruppe der oberen Halbebene \mathbb{H} bestimmen und erhält \mathrm{Aut}(\mathbb{H}) \cong PSL(2, \mathbb{R}).

Verschärfung[Bearbeiten]

Das schwarzsche Lemma besagt unter anderem, dass für eine holomorphe Funktion f : \mathbb{D} \to \mathbb{D} mit f(0) = 0 in der Potenzreihenentwicklung f(z) = \sum_{j=1}^\infty a_j z^j die Bedingung |a_1| \leq 1 gilt. Ludwig Bieberbach zeigte, dass für injektive Funktionen auch |a_2| \leq 2 gilt, und stellte die später nach ihm benannte bieberbachsche Vermutung auf, dass |a_j| \leq j \; \forall j \in \mathbb{N}\; . Diese Vermutung wurde 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg Verlag, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6