Schwebung

Als Schwebung bezeichnet man die Resultierende der additiven Überlagerung (Superposition) zweier Schwingungen, die sich in ihrer Frequenz nur wenig voneinander unterscheiden. Schwebungen treten unter anderem im Bereich der Signalverarbeitung auf, wenn die beiden Signalfrequenzen $f_1$ und $f_2$ nahe zueinander liegen. Weiter tritt sie bei Wellen auf, für die das Superpositionsprinzip gilt, also beispielsweise bei Schallwellen und elektromagnetischen Wellen.

Mathematische Beschreibung

Herleitung der Formeln für Schwebungsfrequenz und -periode

Siehe auch: Mischung_(Physik)#Mathematische_Darstellung_der_Schwebung

Beispiel einer Schwebung zweier Frequenzen. Oben die beiden Signalfrequenzen $f_1$ und $f_2$, in den Farben Blau und Magenta. Unten die Schwebung, gebildet durch Addition der beiden obigen Verläufe. Die Frequenz der blauen Kurve ergibt sich als Mittelwert der beiden Frequenzen und die Frequenz der einhüllenden Kurve (Magenta) ergibt sich als die halbe Differenz der beiden Frequenzen.

In der folgenden Berechnung ist:

• $f_1$ die Frequenz der Sinus-Schwingung 1,
• $f_2$ die Frequenz der Sinus-Schwingung 2,
• $\hat{y}_{1,2}$ die Amplitude der einzelnen Schwingungen (gleich für 1 und 2),
• $t$ der Zeitpunkt,
• π die Kreiszahl, $\pi \approx 3{,}141592654$
• $y_\mathrm{R}$ die resultierende Summenschwingung,
• $\hat{y}$ ihre Amplitude,
• $f_\mathrm{R}$ ihre Frequenz,
• $f_\mathrm{S}$ die Frequenz einer cosinusförmigen Schwingung, welche die Schwebungsfunktion $y_\mathrm{R}$ einhüllt,
• $f_{Schwebung}$ die Schwebungsfrequenz.

Man betrachte zwei gleichgerichtete harmonische Schwingungen mit leicht unterschiedlichen Frequenzen

$y_1(t) = \hat{y}_1 \sin(2 \pi f_1 t)$

$y_2(t) = \hat{y}_2 \sin(2 \pi f_2 t).$

Zur Vereinfachung sei angenommen, dass beide Schwingungen dieselbe Amplitude haben.

$\hat{y}_1 = \hat{y}_2 = \hat{y}$

Dann kann die Summenschwingung so dargestellt werden:

$y_\mathrm{R}\left(t\right) = \hat{y}\left(\sin \left(2\pi f_1t\right) + \sin\left(2\pi f_2t\right)\right) \,$.

Dieser Ausdruck kann durch Anwendung der Additionstheoreme umgeformt werden in die folgende Formel:

$y_\mathrm{R}\left(t\right) = 2\hat{y}\sin\!\left(2\pi \frac{f_1 + f_2}{2} t\right)\cdot \cos\!\left(2\pi \frac{f_1 - f_2}{2} t\right)$

Die letzte Formel besagt, dass die Frequenz der Überlagerungsschwingung die mittlere Frequenz der beiden Teilschwingungen ist (entspricht dem Sinus-Glied der Formel, siehe $f_\mathrm{R}$ unten) und dass die resultierende Amplitude sich zeitlich ändert (dies wird durch das Kosinus-Glied ausgedrückt, siehe $f_\mathrm{S}$ und $f_\mathrm{Schwebung}$ unten). Es gilt:

$f_\mathrm{R} = \frac{f_1 + f_2}{2}$

Für $f_\mathrm{S}$ findet man den Ausdruck $f_\mathrm{S} = (f_1 - f_2)/2$ - dieses ist die Frequenz, die sich rechnerisch aus dem Kosinus-Glied ergibt. Da es für die Umhüllende der Überlagerungsschwingung (d.h. für die hörbare Amplitudenschwankung) egal ist, ob sich der Kosinus im plus- oder minus-Bereich befindet, ist die hörbare Frequenz der Lautstärkeänderung doppelt so groß. Diese so genannte Schwebungsfrequenz ist definiert als

$f_\mathrm{Schwebung} = \left| f_1 - f_2 \right|$

und ihr Betrag ist wesentlich kleiner als $f_\mathrm{R}$. Die sich daraus ergebende Schwebungsperiode

$T_\mathrm{Schwebung} = \frac{1}{f_\mathrm{Schwebung}}$

ist der zeitliche Abstand zwischen zwei Punkten minimaler Amplitude (Knoten) der Schwebungsfunktion $y_\mathrm{R}$.

Unreine Schwebung

Sind die Amplituden der beiden beteiligten Schwingungen nicht gleich, dann spricht man von der so genannten Unreinen Schwebung. Bei dieser ist das entsprechende Kosinus-Glied anders ausgebildet, und es treten keine Stilleperioden (wenn die resultierende Amplitude der reinen Schwebung durch Null geht) auf. Des Weiteren schwankt die Schwingungsdauer, anders ausgedrückt, die resultierende Frequenz (das Sinus-Glied oben) ist nicht konstant.

Akustische Schwebungen

In der Akustik ist die Schwebung deutlich zu hören: Erklingen zwei Töne, deren Frequenzen sich nur wenig unterscheiden, so ist ein Ton zu hören, dessen Frequenz dem Mittelwert der Frequenzen der beiden überlagerten Töne entspricht. Dieser Ton ist moduliert, seine Lautstärke schwankt mit der sogenannten Schwebungsfrequenz, die der Differenz der Frequenzen der beiden Töne entspricht.

Erhöht sich der Frequenzunterschied, so vermag das Ohr den immer schneller werdenden Lautstärkeschwankungen nicht mehr zu folgen und man vernimmt einen Ton rauer Klangfärbung, der sich bei weiterer Vergrößerung der Frequenzdifferenz in zwei Einzeltöne aufspaltet. Überschreitet die Schwebungsfrequenz die Hörschwelle von ca. 20 Hz, wird sie als Differenzton hörbar.

Dieses Phänomen demonstriert das folgende Klangbeispiel^?/i: Einem Sinuston mit der konstanten Frequenz 440 Hertz ist ein zweiter Sinuston überlagert, dessen Frequenz von 440 Hertz auf 490 Hertz ansteigt.

Wie die Schwebungen eines Intervalls (hier eines Halbtons) wahrgenommen werden, hängt sehr stark von der Höhenlage ab, was im folgenden Beispiel deutlich wird:

Beispiel: Gespielt werden die (Sinus-) Töne e und f von der großen bis zur dreigestrichenen Oktavlage zuerst einzeln, dann zusammen. Die Frequenz von f ist in jeder Oktavlage 6,6 % höher als die von e.

in Hz

E 82,5

F 88

E F

e 165

f 176

e f

e' 330

f' 352

e' f'

e'' 660

f'' 704

e'' f''

e''' 1320

f''' 1408

e''' f'''

allein

allein

zusammen

allein

allein

zusammen

allein

allein

zusammen

allein

allein

zusammen

allein

allein

zusammen

Anhören?/i

Klangbeispiele

Schwebungen bei der Überlagerung zweier Töne mit 440 Hz und 440,5 Hz

Mit reinen Sinusschwingungen	Mit 100 % Grundfrequenz, 50 % erster Oberton und 25 % zweiter Oberton
Anhören?/i	Anhören?/i

Zwei chromatische Halbtöne (Frequenzunterschied 4 %) im Zusammenklang

Reine Sinustöne: Der Schwebungscharakter ist beim Zusammenklang deutlich. Kaum zwei getrennten Töne hörbar. Anhören?/i

Als Orgelregister mit Obertönen (Grundton: 100 %, Obertöne: 75 %, 50 %, 30 %, 15 %, 10 % und 5 %). Hier hört man deutlich beim Zusammenklang zwei getrennte Töne (Man kann sie nachsingen). Anhören?/i

Klangbeispiele mit speziellen Schwingungsformen

Um das Verständnis der akustischen Schwebung etwas zu erleichtern, finden sich hier vier beispielhafte unterschiedliche Schwingungen. Alle besitzen dieselbe Startfrequenz von 110 Hz, sie unterscheiden sich jedoch in ihrer Wellenform: Dreieck, Rechteck, Sägezahn, Sinus

• Dreieckschwingung^?/i
• Rechteckschwingung^?/i
• Sägezahnschwingung^?/i
• Sinusschwingung^?/i

In allen vier Klangbeispielen wurden zwei Schwingungen überlagert, die zunächst dieselbe Frequenz haben. Ab Sekunde 4 wird die Frequenz der einen Schwingungen allmählich erhöht (in 8 Sekunden um 50 Cent), dann bleibt sie 6 Sekunden gleich, wird nun rascher (um 100 Cent) verringert und nach einer weiteren stabilen Phase (bei -50 Cent) wird sie wieder auf die Ausgangsfrequenz geändert. Einen exakten Verlauf stellt folgendes Diagramm dar:

Frequenzverlauf der veränderlichen Schwingung aus den obigen vier Beispielen. Die konstante Schwingung (nicht eingezeichnet) liegt auf der Null-Linie

Schwebungen bei unreinen Intervallen

Bei unrein intonierten Intervallen kann man die Schwebungen der Obertöne folgendermaßen berechnen:

Oktave :$f_\mathrm{Schwebung} = \left| 2 \cdot f_1 - f_2 \right|$

Quinte :$f_\mathrm{Schwebung} = \left| 3 \cdot f_1 - 2 \cdot f_2 \right|$

Beispiel dazu bei mitteltöniger Stimmung: mitteltönige Quinten^?/i.

große Terz: :$f_\mathrm{Schwebung} = \left| 5 \cdot f_1 - 4 \cdot f_2 \right|$

Bei den gewöhnlich außerhalb des kritischen Bereichs liegenden Intervallen hört man eine Schwebung, wenn zwei deutlich vorhandene Obertöne oder ein Oberton und eine Grundfrequenz nahe beieinander liegen.

Wie man den folgenden Wellenbildern entnehmen kann, ist bei reinen Sinustönen kaum eine Schwebung wahrnehmbar (Die Amplituden ändert sich kaum), bei einem hohen Obertonanteil ist sie jedoch deutlich hörbar.

Mitteltönig gestimmte Quinten

Anhören: Zuerst reine Sinusschwingungen, dann mit Obertönen?/i

Schwebungen bei Intervallen spielen bei der reinen, den mitteltönigen, den wohltemperierten und der gleichstufigen Stimmung eine große Rolle. Zum Beispiel hört man bei einer reinen Terz keine Schwebung, bei der gleichstufigen eine erhebliche - als Reibung empfundene - Schwebung. Die Schwebungen der mitteltönig gestimmten Quinten sind so gering, dass sie nicht als Missklang empfunden werden.

Akustische Täuschung?

Die auditive Wahrnehmung von Schwebungen beruht im Allgemeinen nicht auf einer akustischen Täuschung, sondern auf physikalisch realen Vorgängen. Anders ist dies bei den so genannten Binaurale Beats, wo den Ohren über Kopfhörer je eine von zwei differierenden Frequenzen zugeführt wird und die Wahrnehmung von Schwebungen erst durch die Signalverarbeitung im Gehirn entsteht.

Anwendungen

Das Phänomen der Schwebung kann vielseitig angewendet werden. In der Musizierpraxis wird sie als

• belebender Klangeffekt bei Musikinstrumenten beispielsweise als zuschaltbarer sogenannter Tremoloeffekt oder als spezielles Register in Pfeifenorgeln eingesetzt.
• Das Leslie-Lautsprecher-Kabinett verwendet den Doppler-Effekt zur Erzeugung der Schwebung. Hierbei wird der konstante Originalton mit einem in der Tonhöhe vibrierenden Ton überlagert.
• Bei der Tremoloharmonika (Wiener Stimmung) und den meisten Handzuginstrumenten erfolgt die Tonerzeugung mit zwei Durchschlagzungen, die in einer Schwebung gestimmt sind.
• Das Stimmen eines Musikinstruments nach Gehör (ohne Stimmgerät mit optischer Anzeige), also das eigentliche Einstimmen auf den Kammerton als Referenzfrequenz, erfolgt solange, bis keine Schwebung mehr zu hören ist: Der Ton ist „schwebungsnull - er stimmt“ .
• Die Tonharmonie des Bambus-Instruments Angklung basiert auf dem Prinzip von zwei bis vier in Schwebung befindlicher Klangkörper (Bässe, Melodieinstrumente und Akkorde), die gleichzeitig geschüttelt werden.

Unangenehm störend wird die Schwebung hingegen, wenn zwei Instrumente mit annähernd sinusförmigen Tönen (Flöten) eng benachbarte Töne spielen - man sagt, die Töne reiben sich. Beim Unisono-Zusammenspiel zweier Blockflötenanfänger kann es bei extremen Unsauberkeiten sogar dazu kommen, dass in der Tiefe ein äußerst penetranter Differenzton hörbar wird.

Siehe auch

• Ondes Martenot
• Schwebungssummer
• Interferenz und Mischung (Physik)
• Gekoppelte Pendel
• akustische Täuschung
• Binaurale Beats
• Moiré-Effekt
• Konsonanz im Artikel Pythagoras in der Schmiede

Weblinks

• Simulation zu Interferenz/Schwebung/Lissajous_Kurven zweier stehender Wellen