Scott-Topologie

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Scott-Topologie, benannt nach Dana Scott, ist eine Topologie, die sich aus der Halbordnung auf einer halbgeordneten Mengen ergibt.[1] Sie spielt unter anderem in der theoretischen Informatik eine Rolle.

Definition[Bearbeiten]

Es sei (A, \sqsubseteq) eine Menge mit Halbordnung. Eine Teilmenge U\subseteq A heißt Scott-abgeschlossen, falls

  • U bezüglich \sqsubseteq eine Unterhalbmenge ist, das heißt mit jedem Element auch jedes bzgl. der Halbordnung kleinere enthält, und
  • für alle gerichteten M\subseteq U, die in (A,\sqsubseteq) ein Supremum \bigsqcup M haben, ist \bigsqcup M \in U.

Die so definierten Scott-abgeschlossenen Mengen sind genau die abgeschlossenen Mengen der Scott-Topologie auf (A,\sqsubseteq).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Im Folgenden seien (A,\sqsubseteq_A) und (B,\sqsubseteq_B) halbgeordnete Mengen, und sie seien mit der jeweiligen Scott-Topologie ausgestattet.

  • Ist f\colon A\to B eine stetige Abbildung, so ist f monoton.
  • Eine Abbildung f\colon A\to B ist genau dann stetig, wenn f gerichtete Suprema erhält, d.h. für alle gerichteten M\subseteq A mit Supremum \bigsqcup M ist \bigsqcup(f(M)) = f(\bigsqcup M).

Literatur[Bearbeiten]

 S. Abramksy, A. Jung: Handbook of Logic in Computer Science. Vol. III, Oxford University Press, 1994, ISBN 0-19-853762-X, Domain theory (http://www.cs.bham.ac.uk/~axj/pub/papers/handy1.pdf).

Weblinks[Bearbeiten]

Scott topology, Eintrag im nLab. (englisch)

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Dana Scott Continuous lattices, in Lawvere Toposes, Algebraic Geometry and Logic, Lecture Notes in Mathematics 274. Springer-Verlag 1972