Selbstenergie

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In der klassischen Physik versteht man unter der Selbstenergie die potentielle Energie einer Ladungsverteilung in ihrem eigenen Feld. Manche Autoren beziehen zusätzlich die Feldenergie mit ein.[1]

Selbstenergie nennt man in der Quantenfeldtheorie die störungstheoretischen Korrekturen zum Propagator.

Klassische Verwendung[Bearbeiten]

Das klassische Konzept der Selbstenergie trennt die Ladung und das von ihr erzeugte Feld, um dann herauszufinden, welche Energie nötig wäre, um die Ladung in dieses Feld zu bringen.

Das elektrische Potential \phi einer Punktladung, die sich an der Position \vec{r_0} befindet, ist am Ort \vec{r} gegeben durch

\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{|\vec{r} - \vec{r_0}|}\ .

Bringt man nun die Punktladung selbst in dieses Feld, so divergiert der Ausdruck, wenn \vec{r} \to \vec{r_0} geht.

Anwendung[Bearbeiten]

Geht man jedoch davon aus, dass die Punktladung eines Teilchens nur auf einen Abstand R an den Ursprung des Potentials \vec{r_0} gelangt, so erhält man einen endlichen Ausdruck

E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{R}\ .

Setzt man diese Energie mit der Ruheenergie E = m_e c^2 gleich, so erhält man daraus für R den klassischen Elektronenradius.

Feldenergie einer homogen geladenen Kugel[Bearbeiten]

Elektrisches Feld:

innen

r\leq R:\qquad \vec{E}_\text{innen}(\vec{r})=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r}}{R^3}

außen

r\geq R:\qquad \vec{E}_\text{aussen}(\vec{r})=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r}}{r^3}

Feldenergie:

\begin{align}
E_F
&= \frac{\epsilon_0}{2}\int dV\vec{E}^2(\vec{r})
 = \underbrace{\frac{\epsilon_0}{2}\int^{\infty}_{R} dVE_\text{aussen}^2(r)}_{\text{Arbeit von }\infty\text{ bis R}}+\underbrace{\frac{\epsilon_0}{2}\int^{R}_{0} dVE_\text{innen}^2(r)}_{\text{Arbeit von R bis 0}}\\
&= \frac{\epsilon_0}{2}\frac{Q^2}{(4\pi\epsilon_0)^2}\,4\pi \left( \int^{\infty}_{R}  r^2 \frac{1}{r^4}dr+  \int^{R}_{0}  r^2 \left(\frac{r}{R^3}\right)^2 dr \right)\\
&= \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0} \left(\frac{1}{R}+\frac{1}{5R}\right)\\
&= \frac{3}{20\,\pi\epsilon_0 }\frac{Q^2}{R}\end{align}

Quantenfeldtheorie[Bearbeiten]

Electron self energy.svg

In der Quantenfeldtheorie bezeichnet die Selbstenergie (auch Massenterm) die Beiträge aller Diagramme mit einer einlaufenden und einer auslaufenden Linie. Als irreduzibler Selbstenergieeinschub (\Sigma) wird ein Selbstenergieeinschub bezeichnet, der sich nicht durch Auftrennen einer Linie in zwei getrennte Anteile zerlegen lässt. Es werden also beispielsweise in diesem Fall nicht die Diagramme erfasst, in denen mehrere Schleifen getrennt hintereinander folgen. Die Selbstenergie wird dann als Summe der Beiträge aller irreduziblen Selbstenergieeinschübe definiert:

Dyson.svg

Ein Selbstenergiediagramm heißt Skelett, falls es ausschließlich aus Propagatoren aufgebaut wird, die keine Selbstenergieeinschübe, also Schleifen, beinhalten. Ein angezogenes Skelett ist ein Skelett aus der Entwicklung der Selbstenergie, bei dem jeder freie Propagator durch einen Propagator ersetzt wurde, der um die Selbstenergie korrigiert wurde. Damit ist die Selbstenergie die Summe der Beiträge aller angezogenen Skelette. Die Darstellung Selbstenergie als Summe der Beiträge aller angezogenen Skelette und die Dyson-Gleichung bilden ein Gleichungssystem, das gleichzeitig (selbstkonsistent) zu lösen ist. Dies kann iterativ geschehen, bis bei Selbstkonsistenz abgebrochen werden kann. Dies führt auf die selbstkonsistente Renormierung.

Der einfachste Fall der Dyson-Gleichung (Zweipunktfunktion) betrachtet gerade die Selbstenergie.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  V. Weisskopf: Über die Selbstenergie des Elektrons. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. 89, Nr. 1, Springer, Berlin / Heidelberg 1934, ISSN 0939-7922, S. 27–39, doi:10.1007/BF01333228.