Selbstenergie
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In der klassischen Physik versteht man unter der Selbstenergie die (Potentielle) Energie einer Ladungsverteilung in ihrem eigenen Feld.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Potential einer Punktladung
Das elektrische Potential Φ Punktladung, die sich an der Position 
befindet, ist am Ort 
gegeben durch
Eine Punktladung darf nur als der Grenzfall einer endlichen räumlichen Ladungsverteilung mit dem Volumen ΔV angesehen werden. Ist der Abstand zwischen Punktladung und Ort der Potentialmessung 
sehr viel größer als die Ausdehnung der Ladungsverteilung, gilt also
![|\vec{r} - \vec{r_1}| \gg \sqrt[3]{\Delta V},](http://upload.wikimedia.org/math/9/c/9/9c9b1f42228ebe90f65f05646d2f5b17.png)
so darf man, wie es auch im mechanischen Kraftgesetz mit der idealisierten Punktmasse erfolgt, die Ladungsverteilung in einem Punkt konzentriert als Punktladung ansehen.
[Bearbeiten] Punktladung als Grenzfall einer ausgedehnten Ladungsverteilung
In einer ausgedehnten Ladungsverteilung hat also jedes Volumenelement eine (potentielle) Energie im Feld derselbigen. Solange die Ausdehnungen relativ gesehen groß sind, funktionieren die „gängigen“ Idealisierungen, und 
. Lässt man jedoch die Ladungsverteilung in eine Punktladung übergehen, „spürt“ diese ihr eigenes Potential, welches auf eine Singularität zusteuert, da der Abstand gegen Null geht, und dadurch gegen unendlich geht.
Eine Punktladung würde in ihrem eigenen Feld ein unendlich hohes Potentialfeld spüren, und somit eine unendlich hohe Energie - eine unendlich hohe Selbstenergie - besitzen. Dies ist jedoch unmöglich.
Daher ist eine Punktladung, wie oben erwähnt, nur solange als ein zutreffendes Modell akzeptabel, wie die beteiligten Abstände groß gegenüber der Ladungsausdehnung sind.
[Bearbeiten] Beispiel: Energie einer geladenen Kugel (homogen)
Die Energie einer homogen geladenen Kugel mit Radius R ist beispielsweise
bzw
im SI-System.
Geht ihr Radius gegen Null, so geht die Energie gegen unendlich
[Bearbeiten] Berechnung des Elektronenradius
Mit dem Kugelmodell für Elektronen lässt sich über die Energie auch der „klassische“ Elektronenradius berechnen:
.
[Bearbeiten] Quantenfeldtheorie
Im Rahmen der diagrammatischen Störungstheorie wird die Selbstenergie Σ über die Dyson-Gleichung definiert. Es wird zunächst der Selbstenergieeinschub als Teil eines Diagramms zur Ein-Teilchen-Green-Funktion mit zwei Anschlussmöglichkeiten, je eine für eine einlaufende und eine auslaufende Linie. Als irreduzibler Selbstenergieeinschub wird ein Selbstenergieeinschub bezeichnet, der sich nicht durch Auftrennen eines Propagators in zwei Anteile zerlegen lässt. Nun lässt sich die Selbstenergie als Summe der Beiträge aller irreduziblen Selbstenergieeinschübe definieren. Ein Selbstenergiediagramm heißt ein Skelett, falls es ausschließlich aus Propagatoren aufgebaut wird, die keine Selbstenergieeinschübe beinhalten. Ein angezogenes Skelett ist dann ein Skelett aus der Entwicklung der Selbstenergie, bei dem jeder freie Propagator durch einen wechselwirkenden Propagator ersetzt wurde. Damit ist nun die Selbstenergie die Summe der Beiträge aller angezogenen Skelette. Es sind die Selbstenergie als Summe der Beiträge aller angezogenen Skelette und die Dyson-Gleichung gleichzeitig zu lösen. Dies kann iterativ geschehen, bis bei Selbstkonsistenz abgebrochen werden kann. Dies führt auf die selbstkonsistente Renormierung.
