Semi-Markow-Prozess

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Ein Semi-Markow-Prozess (SMP), auch bekannt als Markow-Erneuerungsprozess, ist eine Verallgemeinerung eines Markow-Prozesses. Im Unterschied zu einem Markow-Prozess, dessen Zustandsänderungen in gleichen Zeitabständen erfolgen, wird hierbei die Verweildauer in einem Zustand durch einen weiteren stochastischen Prozess gegeben.

Definition[Bearbeiten]

In der Theorie der stochastischen Prozesse ist ein Semi-Markow-Prozess Z gegeben durch ein Paar von Prozessen W = (X,Y). X ist dabei eine Markow-Kette mit Zustandsraum S und Übergangsmatrix P (sog. steuernde Kette). Y ist ein Prozess, für den Y(n) nur von r = X(n-1) und s = X(n) abhängt. Die Verteilungsfunktion ist dabei durch F_{rs} gegeben.

Der Semi-Markow-Prozess Z ist dann derjenige Prozess, dessen Zustand zum Zeitpunkt n aus S entsprechend X(n) bestimmt ist. Die Verweildauer von X(n-1) bis X(n) ist dann gegeben durch Y(n).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Da die Eigenschaften von Y abhängig sind sowohl vom aktuellen Zustand X(n-1) als auch vom Folgezustand X(n) ist die Markow-Eigenschaft im Allgemeinen nicht erfüllt. Dennoch ist der Prozess W(n) = (X(n), Y(n)) ein Markow-Prozess. Dies erklärt auch den Namen Semi-Markow-Prozess.

Anwendungen[Bearbeiten]

Systeme beispielsweise in der Warteschlangentheorie weisen Eigenschaften auf, die mit einfachen Markow-Prozessen nicht immer abgebildet werden können. Als Beispiel sei hier die Autokorrelation genannt. Um dies zu erreichen, werden oft Semi-Markow-Prozesse zur Modellierung der Ankunftsraten eingesetzt[1].

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Kempken, Sebastian: Modellierung und verifizierte Analyse von zeitkorreliertem Datenverkehr im Internet VDI Verlag, Düsseldorf 2009, ISBN 978-3-18-380410-8