Separabilität (Quantenmechanik)

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In der Quantenmechanik bezeichnet man den Zustand eines zusammengesetzten Systems als separabel, wenn er nicht verschränkt ist, das heißt, wenn er sich als Gemisch aus Produktzuständen schreiben lässt.

Separabilität für reine Zustände[Bearbeiten]

Der Einfachheit halber werden im Folgenden alle Räume als endlichdimensional angenommen. Zunächst betrachten wir reine Zustände.

Separabilität ist eine Eigenschaft zusammengesetzter Quantensysteme, das heißt im einfachsten („bipartiten“) Fall, eines aus den Teilsystemen 1 und 2 bestehenden Gesamtsystems 12. Die quantenmechanischen Zustandsräume der Teilsysteme seien die Hilberträume H_1 und H_2 mit den jeweiligen orthonormalen Basisvektoren \{|{a_i}\rangle\}_{i=1}^n und \{|{b_j}\rangle\}_{j=1}^m. Der Hilbertraum des zusammengesetzten Systems ist dann das Tensorprodukt

H_{12} = H_1\otimes H_2,

mit der Basis \{|{a_i}\rangle\otimes |{b_j}\rangle\}, oder in kompakterer Notation \{|a_i b_j \rangle\}. Jeder Vektor in H_{12} (d. h., jeder reine Zustand des Systems 12) lässt sich schreiben als |\psi\rangle = \Sigma_{i,j} c_{i,j} | a_i \rangle \otimes | b_j \rangle =\Sigma_{i,j} c_{i,j} | a_i b_j \rangle.

Wenn sich ein reiner Zustand |\psi\rangle \in H_1 \otimes H_2 in der Form |\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle schreiben lässt (wobei |\psi _i \rangle ein reiner Zustand des Teilsystems i ist), heißt er separabel oder Produktzustand. Andernfalls nennt man den Zustand verschränkt.

Standardbeispiele für einen separablen und einen verschränkten Zustandsvektor in H_{12} = \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 sind

    |00\rangle \doteq \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} bzw. |\Phi^+\rangle = (|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt{2} \doteq \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},

wobei \doteq wie üblich zu lesen ist als: „wird repräsentiert durch“.

Man sieht,

  • dass man in einem reinen separablen Zustand jedem Teilsystem einen „eigenen“ Zustand zuweisen kann.
  • dass sich jeder reine separable Zustand durch lokale quantenmechanisch zulässige Operationen aus jedem anderen Zustand (z. B. aus |00\rangle) erzeugen lässt.

Beides ist in einem verschränkten Zustand nicht möglich. Passend verallgemeinert lässt sich diese Unterscheidung auch auf den Fall gemischter Zustände übertragen.

Die vorangehende Diskussion lässt sich ohne wesentliche Änderungen auf den Fall unendlichdimensionaler Systeme verallgemeinern.

Separabilität für gemischte Zustände[Bearbeiten]

Nun betrachten wir den Fall gemischter Zustände. Ein gemischter Zustand des zusammengesetzten Quantensystems 12 wird durch eine Dichtematrix \rho beschrieben, die auf dem Hilbertraum H_{12}=H_1 \otimes H_2 wirkt.

\rho ist separabel wenn es p_k\geq 0 mit p_1 + p_2 + \dots = 1 und Zustände \{\rho_1^k \} auf H_1 und \{ \rho_2^k \} auf H_2 gibt (die jeweils gemischte Zustände der Teilsysteme beschreiben), so dass

\rho=\sum_k p_k \rho_1^k \otimes \rho_2^k.

Andernfalls heißt \rho verschränkt.

Die physikalische Bedeutung dieser mathematischen Definition ist, dass sich ein separabler Zustand als Gemisch von Produktzuständen  \rho_1^k \otimes \rho_2^k auffassen lässt.

  • Dies impliziert zum einen, dass ein separabler Zustand nur klassische Korrelationen zwischen den Teilsystemen beschreibt. (Denn ein Produktzustand beschreibt unabhängige (unkorrelierte) Systeme und die Korrelationen sind durch die klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung p_k gegeben.)
  • Zum anderen folgt, dass sich ein separabler Zustand mittels lokaler quantenmechanisch erlaubter Operationen und klassischer Kommunikation aus jedem anderen Zustand (z. B. aus |00\rangle) erzeugen lässt. (Mittels klassischer Kommunikation wählen beide Parteien einen Index k gemäß der Wahrscheinlichkeitsverteilung p_k aus und erzeugen dann (was jeweils lokal möglich ist) den Produktzustand \rho^1_k\otimes\rho^2_k.)

Es ist nach der obigen Definition klar, dass die separablen Zustände eine konvexe Menge bilden.

Wenn die Zustandsräume unendlichdimensional sind, werden Dichtematrizen durch positive Spurklasseoperatoren mit Spur 1 ersetzt. Ein Zustand heißt dann separabel, wenn er (in der Spurnorm) durch Zustände der obigen Form beliebig genau approximiert werden kann.

Separabilität für Vielparteien-Systeme[Bearbeiten]

Die vorangehende Diskussion lässt sich leicht für aus vielen Teilsystemen bestehende Quantensysteme verallgemeinern. Wenn das System aus n Teilsystemen mit System-Hilbertraum H_i, i=1, \dots, n besteht, dann ist ein reiner Zustand auf H_{1, \dots, n} = H_1\otimes H_2\otimes \dots \otimes H_n genau dann separabel (genauer: vollständig separabel), wenn er von der Form

| \psi \rangle = | \psi_1 \rangle \otimes \cdots \otimes |\psi_n \rangle

ist. Analog ist ein gemischter Zustand \rho auf H_{1..n} separabel, wenn er sich als konvexe Summe von Produktzuständen schreiben lässt:

\rho = \sum_k p_k \rho_1 ^k \otimes \cdots \rho_n ^k.

Separabilitätskriterien[Bearbeiten]

Ein reiner Zustand \rho_{12} auf H_1 \otimes H_2 ist genau dann separabel, wenn die Entropie der reduzierten Zustände verschwindet, das heißt, wenn S(\rho_1) = 0 oder S(\rho_2) = 0 ist (beide Gleichungen sind über die Schmidt-Zerlegung äquivalent).

Die Frage, ob ein gegebener gemischter Zustand \rho separabel ist (Separabilitätsproblem), ist im Allgemeinen schwer zu beantworten (NP-Schwere[1]). Die Unterscheidung von separablen und verschränkten Zuständen ist in der Quanteninformationstheorie von großem Interesse, da nur verschränkte Zustände Quantenkorrelationen aufweisen und eine wichtige Ressource darstellen, die Verfahren wie Quantenteleportation ermöglicht.

Ein Separabilitätskriterium ist eine (leicht überprüfbare) Bedingung, die jeder separable Zustand erfüllt (notwendige Bedingung für Separabilität). Die Verletzung einer solchen Bedingung ist dann hinreichend für den Nachweis von Verschränkung. Beispiele für solche Kriterien sind die Erfüllung der Bellschen Ungleichung oder das Peres-Horodecki-Kriterium, das besagt, dass die Dichtematrix eines separablen Zustands unter partieller Transposition[2] positiv bleibt. Allgemeiner lässt sich formulieren, dass die Dichtematrix eines separablen Zustands unter Anwendung jeder positiven Abbildung T in einem der Teilsysteme positiv bleiben muss:

(1\otimes T)\rho \geq 0 .

Im Allgemeinen (d. h. für nicht notwendig separable Zustände) gilt dies nur für vollständig positive Abbildungen T. Die Gültigkeit der obigen Ungleichung für alle positiven Abbildungen T ist notwendig und hinreichend für Separabilität.[3]

Andere Separabilitätskriterien ergeben sich aus den sogenannten Verschränktheitszeugen (entanglement witnesses) oder aus Verschränktheitsmaßen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Gernot Alber und M. Freyberger: Quantenkorrelationen und die Bellschen Ungleichungen, Physikalische Blätter 55, Nr. 10, 24 (1999).
  • Asher Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods', Kluwer Academic, 1995.
  • Eckert et al.: Entanglement Properties of Composite Quantum Systems. In: Quantum Information Processing'. Th. Beth und G. Leuchs (Hrsg.), Wiley-VCH, 2003.
  • Jürgen Audretsch: Verschränkte Welt. Faszination der Quanten. Wiley-VCH, 2002.
  1. Gurvits J. Comput. Syst. Sci. 69, 448-484, (2004); arXiv:quant-ph/0201022
  2. Als partielle Transposition einer Matrix M auf H_1\otimes H_2 bezeichnet man die Matrix, bei der die Transposition nur bezüglich eines der beiden Teilsysteme H_1,H_2 gebildet wird. Seien \{e_i\} und \{f_i\} Orthonormalbasen von H_1 bzw. H_2 und seien M_{ij,kl} die Matrixelemente in der Basis \{e_i\otimes f_j\}, dann gilt für die bezüglich H_1 partiell transponierte Matrix M^{T_1}, dass (M^{T_1})_{ij,kl} = M_{kj,il}. Die lineare Abbildung T_1: M\to M^{T_1} wird oft auch als partielle Transposition bezeichnet. T_1 ist ein Beispiel für einen „positive, aber nicht vollständig positive“ Abbildung. (vgl. z. B. Horodecki et al. Phys. Lett. A 223, 1 (1996))
  3. Micha Horodecki, Pawe Horodecki, Ryszard Horodecki: Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions. In: Physics Letters A. 223, 1996, S. 1–8, doi:10.1016/S0375-9601(96)00706-2; arXiv:quant-ph/9605038.

Weblinks[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]